Kepe O.E. のコレクションからの問題 13.4.5 の解決策。

13.4.5 ばねで吊り下げられた質量 t = 0.5 kg の振動運動の場合、微分方程式は y + 60y = 0 の形式になります。ばねの剛性係数を決定する必要があります。 (答え30)

この問題を解決するには、振動運動の微分方程式の公式を使用する必要があります。

メートル u'' + k u = 0、

ここで、m は荷重の質量、k はバネ剛性係数です。

既知の値をこの式に代入すると、次のようになります。

0.5 u'' + k u = 0。

この方程式をさらに解くには、次の形式の方程式の一般解を見つける必要があります。

у = A cos(ωt + φ)、

ここで、A は振動の振幅、ω は円周周波数、φ は初期位相です。

この関数を 2 回微分すると、次のようになります。

у'' = -A ω^2 cos(ωt + φ)。

見つかった値を元の微分方程式に代入すると、次のようになります。

-0.5 A ω^2 cos(ωt + φ) + k A cos(ωt + φ) = 0。

この方程式は任意の t に対して有効であるため、コサインは削除できます。

-0.5A ω^2 + k A = 0。

この式からばね剛性係数を表すと、次のようになります。

k = 0.5 ω^2。

周波数値 ω = 2πf = 2π/T = 2π√(k/m) を代入すると、次のようになります。

k = (2π/T)^2 m = (2π/1)^2 0.5 = 4π^2 × 0.5 = 2π^2。

したがって、ばねの剛性係数は次のようになります。

k = 2π^2 ≈ 19,739。

答え: 19.739 (最も近い整数は 20)。

そこで、この問題を解決した結果、従来のユニットではバネ剛性係数が 20 に等しいことがわかりました。

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この問題を解決するには、振動運動の微分方程式の公式を使用し、y = A cos(ωt + φ) の形式の方程式の一般解を見つける必要があります。ここで、A は振動の振幅、ω は円周周波数、φ は初期位相です。求めた値を元の微分方程式に代入すると、ばね剛性係数を求める式が得られます。

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この問題は、ばねで吊り下げられた 0.5 kg の荷重の振動運動の微分方程式を示します。これは y + 60y = 0 として記述されます。ここで、y は平衡位置からの荷重の変位を表す時間の関数です。

この問題を解決するには、ばねの剛性係数を決定する必要があります。

これを行うには、剛性 k のばねに吊り下げられた荷重の振動運動を記述する公式を使用できます。

my'' + ky = 0、

ここで、m は荷重の質量、y は平衡位置からの荷重の変位を表す時間の関数、y'' は時間に関する関数 y の二次導関数です。

この式を問題の式と比較することで、ばね剛性係数と荷重の質量の関係を導き出すことができます。

k = m*w^2、

ここで、w は発振周波数です。

この問題では、y + 60y = 0 の形式の振動運動の方程式が得られます。一般式と比較すると、振動周波数は sqrt(60)、負荷の質量は 0.5 kg であることがわかります。これらの値をばね剛性係数の式に代入すると、次の結果が得られます。

k = 0.5*(sqrt(60))^2 = 30。

したがって、バネ定数は 30 となり、これが問題の答えになります。

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