里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 版本 17

第 1.17 号。给定四个点 A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3)。建立方程： a) 平面 A1A2A3； b) 直线 A1A2； c) 直线A4M，垂直于平面A1A2A3； d) 与直线A1A2平行的直线A3N； e) 通过点 A4 且垂直于直线 A1A2 的平面。计算： e) 直线A1A4与平面A1A2A3之间夹角的正弦； g) 坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间夹角的余弦；第 2.17 号。为穿过点 M(1;-1;2) 且垂直于线段 M1M2 的平面创建方程；如果 M1(2;3;-4); M2(-1;2;-3)。第 3.17 号。证明直线平行于平面 x + 3y - 2z + 1 = 0；直线 x = t + 7； y = t - 2； z = 2t + 1 位于该平面内。感谢您的购买。如果您有任何疑问，请通过电子邮件给我写信（参见“有关卖家的信息”）。

第 1.17 号。要组成方程，您将需要以下公式：

• 一般形式的平面方程为：Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C 是确定其法向量的平面系数，D 是自由项。
• 参数形式的直线方程：x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中（x0，y0，z0）是直线上一点的坐标，a，b， c 是直线的指向系数，t - 参数。

a) 让我们构造向量 A1A2 和 A1A3，求它们的向量积，并得到平面的法向量。平面的一般方程为：6x - 9y - 6z + 63 = 0。

b) 求直线A1A2的方向向量：(6-4, 6-9, 5-5) = (2, -3, 0)。参数形式的直线方程：x = 6 + 2t，y = 6 - 3t，z = 5。

c) 求直线 A4M 的方向向量，作为平面 A1A2A3 的法向量与向量 A4M 的向量积。然后我们将使用 A4 点以参数形式编写直线方程。方向向量：(-3，-3，-6)。直线方程：x = 6 - 3t，y = 9 - 3t，z = 3 - 6t。

d) 由于直线A3N 与直线A1A2 平行，因此其方向矢量将与直线A1A2 的方向矢量重合：(2, -3, 0)。参数形式的直线方程：x = 4 + 2t，y = 6 - 3t，z = 5。

e) 使用向量 A1A2 和 A1A4 的向量积求出通过点 A4 的平面法向量。平面的一般方程为：-3x - 6y + 9z + 45 = 0。

f) 求出线 A1A4 和 A1A2 的方向向量，使用公式 |a| 计算它们的标量积和长度|b|cos（向量之间的角度）= ab.然后我们使用公式 sin(angle) = |n 求直线 A1A4 和平面 A1A2A3 之间的角度的正弦(A1-A4)| /(|n|*|A1-A4|)，其中n是平面的法向量，A1-A4是连接点A1和A4的向量。结果：sin(角度) = 2/3。

g) 使用向量 A1A2 和 A1A3 的向量积求出平面 A1A2A3 的法向量。然后我们使用公式 cos(angle) = |n 求平面 A1A2A3 与坐标平面 Oxy 之间的角度的余弦欧胡| / (|n||Oxy|)，其中 Oxy 是位于 Ox 轴上的单位向量。结果：cos（角度）= 2/3。

第 2.17 号。我们来求线段 M1M2 的方向向量：(-3, -1, 1)。平面的法向量将与线段的方向向量重合，因为平面必须垂直于线段。平面的一般方程为：-3x - y + z + 1 = 0。

第 3.17 号。由向量方程给出的直线的方向向量等于(1,1,2)。该向量不垂直于平面 x + 3y - 2z + 1 = 0，这意味着该线平行于该平面。为了确保该直线位于该平面内，我们将其坐标代入该平面的方程中，得到：(t+7) + 3(t-2) - 2(2t+1) + 1 = 0，其中相当于 t = -1。当t=-1时，直线的坐标与平面上一点的坐标重合，即直线位于该平面内。

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里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 版本 17 是线性代数任务，其中包括绘制直线和平面方程、确定直线和平面之间的角度以及检查直线是否位于给定平面内的多项任务。

第 1.17 号。给定四个点 A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3)。有必要创建方程： a) 平面A1A2A3； b) 直线 A1A2； c) 直线A4M，垂直于平面A1A2A3； d) 与直线A1A2平行的直线A3N； e) 通过点A4、垂直于直线A1A2的平面； f) 计算直线A1A4与平面A1A2A3之间夹角的正弦； g) 计算坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间的夹角的余弦。

第 2.17 号。需要为穿过点 M(1;–1;2) 垂直于线段 M1M2 的平面创建方程，其中 M1(2;3;–4); M2(–1;2;–3)。

第 3.17 号。需要证明该直线平行于平面x + 3y – 2z + 1 = 0，且直线x = t + 7； y = t – 2； z = 2t + 1 位于该平面内。

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