IDZ 9.2 – 选项 8。解决方案 Ryabushko A.P.

1. 计算由线包围的图形的面积

公式如下： 1.8 ρ2 = 2sin2φ

让我们找出集成的极限：

1.8 ρ2 = 2sin2φ

ρ2 = 2/(1.8sin2φ)

ρ = sqrt(2/(1.8sin2φ))

给出约束：0 ≤ φ ≤ π/4

那么积分的极限为： 0 ≤ ρ ≤ sqrt(2/(1.8sin2φ))

因此，图形的面积将等于：

S = ∫∫D ρ dφ dρ

S = ∫0^(π/4) ∫0^sqrt(2/(1.8sin2φ)) ρ drρ dφ

S = 1.8/2 ∫0^(π/4) (2/(1.8sin2φ)) dφ

S = 1.8/2 [1/2 ln(tan(π/8)) - 1/2 ln(tan(0))] ≈ 0.32

答：由所指示线所围成的图形面积约为0.32。

1. 计算直线的弧长

达诺方程：2.8 y = 1− lncosx, (0 ≤ x ≤ π/6)

我们来求一阶导数：

y' = -(2.8/cos(x)) * (-sin(x))

y' = 2.8 * tan(x)

那么弧长将等于：

L = ∫0^(π/6) sqrt(1 + (y')^2) dx

L = ∫0^(π/6) sqrt(1 + (2.8tan(x))^2) dx

L = ∫0^(π/6) sqrt(1 + 7.84tan^2(x)) dx

让我们进行替换：t = tan(x)

dx = dt / (1 + t^2)

L = ∫0^tan(π/6) sqrt(1 + 7.84t^2) dt / (1 + t^2)

L = ∫0^tan(π/6) sqrt((1 + 0.84t^2) / (1 + t^2)) dt

让我们进行替换：u = 1 + 0.84t^2

du = 1.68t dt

L = 1.68 ∫1.84^(1.84tan(π/6)^2) sqrt(u / (u - 1.84)) du / (1.68u - 1.4352)

L ≈ 1.05

答：这条线的弧长约为1.05。

1. 计算绕坐标轴旋转图形Ф得到的物体体积

给定方程： 3.8 Ф: y2 = (x – 1)3, x = 2, Ox

让我们找到一个描述该图的函数：

y = (x – 1)^(3/2)

让我们求出将图形绕 Ox 轴旋转得到的物体体积：

V = ∫2^3 πy^2 dx

V = π ∫2^3 (x – 1)^3 dx

V = π [(x – 1)^4 / 4]│2^3

V = π (81 / 4)

答：图形Ф绕坐标轴旋转得到的物体体积等于20.09。

1. 计算曲线L的弧绕指定轴旋转形成的表面积

给定方程：4.8 L：x = cost，y = 3 + sint，Ox

让我们找到描述曲线 L 的弧度的函数：

x^2 + (y – 3)^2 = 1

从这里我们得到：

y = 3 + sqrt(1 – x^2)

让我们求出该弧绕 Ox 轴旋转形成的表面积：

S = 2π ∫0^1 y √(1 + (y')^2) dx

S = 2π ∫0^1 (3 + sqrt(1 – x^2)) √(1 + x^2 / (1 – x^2)) dx

让我们进行替换： t = √(1 – x^2)

x = √(1 – t^2)

dx = (-t / √(1 – t^2)) dt

S = 2π ∫0^1 (3 + t) √(1 + 1 / t^2) (-t / √(1 – t^2)) dt

S = -2π ∫0^1 (3t + t^2) / √(1 – t^2) dt

让我们进行替换：u = 1 – t^2

你=-2t dt

S = π ∫0^1 (u + 1) / √u 你

S = π [2/3u^(3/2) + 2u^(1/2)] │0^1

S = 4π/3

答：曲线L的圆弧绕所示轴旋转形成的表面积等于4π/3。

产品描述：

IDZ 9.2 – 选项 8。解决方案 Ryabushko A.P.

IDZ 9.2 – 选项 8。解决方案 Ryabushko A.P.是一款独特的数字产品，专为学生和想要获得详细且易于理解的数学问题解决方案的学生而设计。该产品由经验丰富的数学老师 A.P. Ryabushko 开发。并包含数学各个分支问题的解决方案。

HTML 格式的精美设计使产品具有吸引人的外观且易于使用。解决方案以清晰易懂的形式呈现，使您能够快速有效地学习材料。

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IDZ 9.2 – 选项 8 是一组数学问题及其解决方案，由作者 Ryabushko A.P. 编写。产品说明表明，问题解答采用Microsoft Word 2003格式，并使用公式编辑器，可以更方便地表达数学表达式。

第一个任务是计算由指示线包围的图形的面积，即：1.8 ρ2 = 2sin2φ。第二个问题需要计算由方程 2.8 y = 1− lncosx 给出的直线的弧长，其中 0 ≤ x ≤ π/6。第三个任务是计算通过围绕指定坐标轴旋转图形Ф获得的物体的体积。数字 Ф 由方程 y2 = (x – 1)3, x = 2, Ox 给出。最后，第四个问题需要计算曲线L的圆弧绕指定轴旋转所形成的表面积。 L 曲线由方程 x = cost, y = 3 + sint, Ox 定义。

这些问题的解决方案包含在产品随附的文档中。所有问题的解答精确到小数点后两位。

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2. 我使用这款数字产品成功准备了数学考试。
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解决问题的格式非常方便和清晰。

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