IDZ 9.2 – 옵션 8. 솔루션 Ryabushko A.P.

1. 선으로 둘러싸인 도형의 면적 계산

방정식은 다음과 같습니다. 1.8 ρ2 = 2sin2ψ

적분의 한계를 찾아봅시다:

1.8 ρ2 = 2sin2ψ

ρ2 = 2/(1.8sin2ψ)

ρ = sqrt(2/(1.8sin2ψ))

제약 조건은 다음과 같습니다. 0 ≤ ψ ≤ π/4

그러면 적분의 한계는 다음과 같습니다: 0 ≤ ρ ≤ sqrt(2/(1.8sin2ψ))

따라서 그림의 면적은 다음과 같습니다.

S = ∫∫D ρ dψ dρ

S = ∫0^(π/4) ∫0^sqrt(2/(1.8sin2ψ)) ρ drρ dψ

S = 1.8/2 ∫0^(π/4) (2/(1.8sin2ψ)) dψ

S = 1.8/2 [1/2 ln(tan(π/8)) - 1/2 ln(tan(0))] ≒ 0.32

답: 표시된 선으로 둘러싸인 그림의 면적은 약 0.32입니다.

1. 선의 호 길이 계산

Dano의 방정식: 2.8 y = 1− lncosx, (0 ≤ x ≤ π/6)

첫 번째 도함수를 찾아봅시다:

y' = -(2.8/cos(x)) * (-sin(x))

y' = 2.8 * 탄(x)

그러면 호의 길이는 다음과 같습니다.

L = ∫0^(π/6) sqrt(1 + (y')^2) dx

L = ∫0^(π/6) sqrt(1 + (2.8tan(x))^2) dx

L = ∫0^(π/6) sqrt(1 + 7.84tan^2(x)) dx

교체를 해보자: t = tan(x)

dx = dt / (1 + t^2)

L = ∫0^tan(π/6) sqrt(1 + 7.84t^2) dt / (1 + t^2)

L = ∫0^tan(π/6) sqrt((1 + 0.84t^2) / (1 + t^2)) dt

교체를 해보자: u = 1 + 0.84t^2

듀 = 1.68t dt

L = 1.68 ∫1.84^(1.84tan(π/6)^2) sqrt(u / (u - 1.84)) du / (1.68u - 1.4352)

L ≒ 1.05

답: 이 선의 호 길이는 약 1.05입니다.

1. 좌표축을 중심으로 그림 Ф를 회전하여 얻은 몸체의 부피 계산

주어진 방정식: 3.8 Ф: y2 = (x – 1)3, x = 2, Ox

그림을 설명하는 함수를 찾아보겠습니다.

y = (x – 1)^(3/2)

Ox 축을 중심으로 그림을 회전하여 얻은 몸체의 부피를 찾아 보겠습니다.

V = ∫2^3 πy^2dx

V = π ∫2^3 (x – 1)^3 dx

V = π [(x – 1)^4 / 4]│2^3

V = π (81 / 4)

답: 좌표축을 중심으로 그림 F를 회전시켜 얻은 몸체의 부피는 20.09와 같습니다.

1. 특정 축을 중심으로 곡선 L의 호를 회전시켜 형성된 표면적 계산

주어진 방정식: 4.8 L: x = 비용, y = 3 + sint, Ox

곡선 L의 호를 설명하는 함수를 찾아보겠습니다.

x^2 + (y – 3)^2 = 1

여기에서 우리는 다음을 얻습니다:

y = 3 + sqrt(1 – x^2)

Ox 축을 중심으로 이 호가 회전하여 형성되는 표면적을 찾아보겠습니다.

S = 2π ∫0^1 y √(1 + (y')^2) dx

S = 2π ∫0^1 (3 + sqrt(1 – x^2)) √(1 + x^2 / (1 – x^2)) dx

치환을 해보자: t = √(1 – x^2)

x = √(1 – t^2)

dx = (-t / √(1 – t^2)) dt

S = 2π ∫0^1 (3 + t) √(1 + 1 / t^2) (-t / √(1 – t^2)) dt

S = -2π ∫0^1 (3t + t^2) / √(1 – t^2) dt

교체를 해보자: u = 1 – t^2

du = -2t dt

S = π ∫0^1 (u + 1) / √u 당신

S = π [2/3u^(3/2) + 2u^(1/2)] │0^1

S = 4π/3

답: 표시된 축을 중심으로 곡선 L의 호가 회전하여 형성된 표면적은 4π/3과 같습니다.

제품 설명:

IDZ 9.2 – 옵션 8. 솔루션 Ryabushko A.P.

IDZ 9.2 – 옵션 8. 솔루션 Ryabushko A.P. 수학 문제에 대한 자세하고 이해하기 쉬운 해결책을 원하는 학생 및 학생들을 위해 설계된 독특한 디지털 제품입니다. 이 제품은 숙련된 수학 교사인 A.P. Ryabushko가 개발했습니다. 다양한 수학 분야의 문제에 대한 해결책이 포함되어 있습니다.

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IDZ 9.2 – 옵션 8은 저자 Ryabushko A.P.가 준비한 일련의 수학적 문제와 이에 대한 솔루션입니다. 제품 설명에는 문제에 대한 해결책이 Microsoft Word 2003 형식으로 되어 있으며 수식을 보다 편리하게 표현하기 위해 수식 편집기를 사용한다고 나와 있습니다.

첫 번째 작업은 표시된 선으로 둘러싸인 그림의 면적, 즉 1.8 ρ2 = 2sin2Φ를 계산하는 것입니다. 두 번째 문제는 방정식 2.8 y = 1− lncosx(0 ≤ x ≤ π/6에 대해)로 주어진 선의 호 길이를 계산해야 합니다. 세 번째 작업은 지정된 좌표축을 중심으로 그림 Ф를 회전하여 얻은 몸체의 부피를 계산하는 것과 관련됩니다. 그림 Ф는 방정식 y2 = (x – 1)3, x = 2, Ox로 제공됩니다. 마지막으로 네 번째 문제는 특정 축을 중심으로 곡선 L의 호를 회전시켜 형성된 표면적을 계산해야 합니다. L 곡선은 방정식 x = 비용, y = 3 + sint, Ox로 정의됩니다.

이러한 문제에 대한 해결 방법은 제품과 함께 제공되는 문서에 포함되어 있습니다. 모든 문제는 소수점 이하 2자리까지 정확하게 해결됩니다.

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