Solução para o problema 7.8.13 da coleção de Kepe O.E.

7.8.13 Um ponto se move ao longo de um círculo de raio r = 6 m com uma velocidade v = 3t. Determine o ângulo em graus entre a aceleração e a velocidade do ponto no instante t = 1 s. (Resposta 26.6)

Vamos considerar o movimento de um ponto ao longo de um círculo de raio $r=6$ metros. Sabe-se que sua velocidade é determinada pela fórmula $v=3t$, onde $t$ é o tempo do movimento. É necessário encontrar o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade de um ponto no tempo $t=1$ segundo.

Solução: A velocidade de um ponto pode ser expressa através da velocidade angular $\omega$ e do raio do círculo $r$: $$v = r\omega.$$ Assim, a velocidade angular é igual a $\omega = \frac{v}{r} = \frac{3t}{r}.$

A aceleração de um ponto em um determinado movimento é constantemente direcionada para o centro do círculo e é determinada pela fórmula $a=\frac{v^2}{r}$. Assim, a aceleração do ponto é igual a $a=\frac{(3t)^2}{r}=\frac{9t^2}{r}$.

No momento $t=1$ segundo, a velocidade angular é igual a $\omega=\frac{3}{6}=0,5$ rad/s, e a aceleração é igual a $a=\frac{9 }{6}=1,5$m/c$^2$. O ângulo entre os vetores aceleração e velocidade pode ser encontrado usando a fórmula: $$\cos\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|\cdot|\ vec{a }|}.$$

Substituindo os valores nesta fórmula, obtemos: $$\cos\alpha=\frac{(3\cdot1)\cdot(9/6)}{(3\cdot1)\cdot\sqrt{(9/6 )^2+ (3/2)^2}}\approx0,453,$$ de onde $\alpha\approx26,6$ graus. Assim, o ângulo desejado é de 26,6 graus.

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Resposta ao problema 7.8.13 da coleção de Kepe O.?. igual a 26,6 graus.

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O produto é a solução do problema 7.8.13 da coleção de Kepe O.?. O problema é formulado da seguinte forma: em um círculo de raio r = 6 m, um ponto se move com velocidade v = 3t. É necessário encontrar o ângulo entre a aceleração e a velocidade do ponto no tempo t = 1 s. A resposta para o problema é 26,6 graus.

Para resolver o problema, é necessário determinar o vetor raio do ponto no tempo t = 1 s, bem como sua velocidade e aceleração. O vetor raio do ponto será igual a r = 6 m, pois o ponto se move ao longo de um círculo de raio 6 m. A velocidade do ponto no tempo t = 1 s será igual a v = 3 m/s, já que v = 3t, e em t = 1 s, v = 3 m/s.

Para encontrar a aceleração, você precisa usar a fórmula da aceleração radial a = v^2/r. Substituindo os valores conhecidos, obtemos a = (3 m/s)^2/6 m = 1,5 m/s^2.

Agora você precisa encontrar o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade. Para fazer isso, você pode usar a fórmula cos(ângulo) = (av)/( |a||v| ), onde |a| e |v| - módulos de vetores de aceleração e velocidade, respectivamente.

Substituindo os valores conhecidos, obtemos cos(ângulo) = (1,5 m/s^2 * 3 m/s) / (1,5 m/s^2 * 3,16 m/s) ≈ 0,86. Na tabela de cossenos descobrimos que o ângulo entre os vetores é 26,6 graus.

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