IDZ Ryabushko 2.2 Opção 6

1. Dados vetoriais:

   • uma(3;-2;1);
   • b(0;2;-3);
   • c(-3;2;-1).

   Necessário:

   • a) calcular o produto misto de três vetores;
   • b) encontre o módulo do produto vetorial;
   • c) calcular o produto escalar de dois vetores;
   • d) verificar se dois vetores são colineares ou ortogonais;
   • e) verificar se os três vetores são coplanares.

   Responder:

   • a) O produto misto dos vetores a, b e c é calculado pela fórmula:

   (a × b) ⋅ c = (b × c) ⋅ a = (c × a) ⋅ b = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) + a₂(b₃c₁ − b₁c₃) + a₃(b₁c₂ − b₂c₁) = 3(2×( -1) - 2×(-3)) - 2(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1(0×2 - 2×(-3)) = -12.

2. b) O módulo do produto vetorial dos vetores aeb é igual a:

|uma×b| = √(a₂b₃ - a₃b₂)² + (a₃b₁ - a₁b₃)² + (a₁b₂ - a₂b₁)² = √((-2)² + 3² + 6²) = √49 = 7.

c) O produto escalar dos vetores aeb é calculado pela fórmula:

a ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 3×0 + (-2)×2 + 1×(-3) = -7.

d) Dois vetores diferentes de zero serão colineares se um for múltiplo do outro. Dois vetores diferentes de zero serão ortogonais se seu produto escalar for zero. Vamos checar:

• os vetores aeb não são múltiplos, pois seus valores absolutos não são iguais e seu produto escalar não é zero;
• os vetores a e c não são múltiplos, pois seus valores absolutos não são iguais e seu produto escalar não é zero;
• os vetores b e c não são múltiplos, pois seus valores absolutos não são iguais e seu produto escalar não é zero.

Portanto, nem dois dos três vetores são colineares, nem dois vetores são ortogonais.

e) Três vetores serão coplanares se seu produto misto for igual a zero. Vamos checar:

uma ⋅ (b × c) = 3×(2×(-1) - 2×(-3)) + (-2)×(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1×(0×2 - 2×(-3)) = -12 ≠ 0.

Portanto, os três vetores não são coplanares.

Os topos da pirâmide estão localizados nos pontos:

• UMA(3;4;2);
• B(–2;3;–5);
• C(4;–3;6);
• D(6;–5;3).

Responder:

Para resolver o problema é necessário encontrar a altura da pirâmide e a área da base.

Vamos encontrar os vetores AB, AC e AD:

• AB = B - A = (-2 - 3; 3 - 4; -5 - 2) = (-5; -1; -7);
• E = C - A = (4 - 3; -3 - 4; 6 - 2) = (1; -7; 4);
• DE ANÚNCIOS = D - A = (6 - 3; -5 - 4; 3 - 2) = (3; -9; 1).

A altura da pirâmide baixada até a base ABCD é igual ao comprimento da projetoeção do vetor AD na reta que passa pelos pontos B e C. Vamos encontrá-lo:

• Vamos encontrar o produto vetorial dos vetores AB e AC:

AB × AC = (-1×4 - (-7)×1; (-7)×1 - (-5)×4; (-5)×(-1) - (-1)×(-7) ) = (-11; -29; -34).

Vamos encontrar o produto vetorial dos vetores AB × AC e AC:

(AB × AC) × AC = (-29×4 - (-34)×(-7); (-34)×1 - (-11)×4; (-11)×(-7) - (- 29)×1) = (19; 110; 208).

Vamos encontrar a projeção do vetor AD no vetor AB × AC:

proj_AB×ACAD = (AD ⋅ (AB × AC)) / |AB × AC| = (3×19 - 9×110 + 208) / √(19² + 110² + 208²) ≈ 7,585.

Agora vamos encontrar a área da base ABCD. Para fazer isso, encontramos o módulo do produto vetorial dos vetores AB e AC:

|AB × AC| = √((-1)² + (-7)² + 4²) ≈ 7,681.

A área da base é:

S_motivos = |AB × AC| / 2 ≈ 3,840.

Assim, a altura da pirâmide é de aproximadamente 7,585 e a área da base é de aproximadamente 3,840.

A força F(3;–5;7) é aplicada ao ponto A(2;3;–5). Necessário:

• a) calcular o trabalho da força no caso em que o ponto de sua aplicação, movendo-se retilíneamente, se desloca para o ponto B(0;4;3);
• b) encontre o módulo do momento de força em relação ao ponto B.

Responder:

• a) O trabalho realizado pela força F ao mover o ponto A para o ponto B é calculado pela fórmula:

W = F ⋅ AB = (F, AB) = F₁AB₁ + F₂AB₂ + F₃AB₃ = 3×(-2) + (-5)×1 + 7×8 = 49.

Portanto, o trabalho realizado pela força F é 49.

b) O momento da força F em relação ao ponto B é igual ao produto vetorial

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IDZ Ryabushko 2.2 Opção 6 é uma tarefa de álgebra linear que consiste em três tarefas:

1. Dados os vetores a(3;-2;1), b(0;2;-3) e c(-3;2;-1). Você precisa fazer o seguinte:

   a) Calcule o produto misto de três vetores. b) Encontre o módulo do produto vetorial. c) Calcule o produto escalar de dois vetores. d) Verifique se dois vetores são colineares ou ortogonais. e) Verifique se os três vetores são coplanares.

2. Os vértices da pirâmide são definidos pelos pontos A(3;4;2), B(-2;3;-5), C(4;-3;6) e D(6;-5;3). É necessário encontrar o volume desta pirâmide.

3. A força F(3;-5;7) é aplicada ao ponto A(2;3;-5). Você precisa fazer o seguinte:

   a) Calcule o trabalho da força no caso em que o ponto de sua aplicação, movendo-se retilíneamente, se desloca para o ponto B(0;4;3). b) Calcule o módulo do momento da força em relação ao ponto B.

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