IDZ Ryabushko 2.2 选项 6

1. 矢量数据：

   • a(3;-2;1);
   • b(0;2;-3);
   • c(-3;2;-1)。

   必要的：

   • a) 计算三个向量的混合积；
   • b) 求矢量积的模；
   • c) 计算两个向量的标量积；
   • d) 检查两个向量是否共线或正交；
   • e) 检查三个向量是否共面。

   回答：

   • a) 向量a、b和c的混合乘积由以下公式计算：

   (a × b) ⋅ c = (b × c) ⋅ a = (c × a) ⋅ b = a₁(b2c₃ − b₃c2) + a2(b₃c₁ − b₁c₃) + a₃(b₁c2 − b2c₁) = 3(2×( -1) - 2×(-3)) - 2(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1(0×2 - 2×(-3)) = -12。

2. b) 向量 a 和 b 的向量积的模等于：

|a×b| = √(a2b₃ - a₃b2)2 + (a₃b₁ - a₁b₃)2 + (a₁b2 - a2b₁)2 = √((-2)2 + 32 + 62) = √49 = 7。

c) 向量a和b的标量积由以下公式计算：

a ⋅ b = a₁b₁ + a2b2 + a₃b₃ = 3×0 + (-2)×2 + 1×(-3) = -7。

d) 如果一个非零向量是另一个向量的倍数，则两个非零向量将共线。如果两个非零向量的点积为零，则它们将是正交的。让我们检查：

• 向量 a 和 b 不是倍数，因为它们的绝对值不相等并且它们的标量积不为零；
• 向量 a 和 c 不是倍数，因为它们的绝对值不相等并且它们的标量积不为零；
• 向量 b 和 c 不是倍数，因为它们的绝对值不相等并且它们的标量积不为零。

因此，三个向量中的两个向量都不共线，也不存在两个向量正交。

e) 如果三个向量的混合积等于 0，则它们共面。让我们检查：

a × (b × c) = 3×(2×(-1) - 2×(-3)) + (-2)×(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1×(0×2 - 2×(-3)) = -12 ≠ 0。

因此，三个向量不共面。

金字塔的顶部位于以下点：

• A(3;4;2);
• B(–2;3;–5);
• C(4;–3;6);
• D(6;–5;3)。

回答：

为了解决这个问题，你需要找到金字塔的高度和底面积。

我们来求向量 AB、AC 和 AD：

• AB = B - A = (-2 - 3; 3 - 4; -5 - 2) = (-5; -1; -7);
• AND = C - A = (4 - 3; -3 - 4; 6 - 2) = (1; -7; 4);
• AD = D - A = (6 - 3; -5 - 4; 3 - 2) = (3; -9; 1)。

金字塔到底面 ABCD 的高度等于矢量 AD 在经过 B 点和 C 点的直线上的投影长度。让我们求一下：

• 让我们求向量 AB 和 AC 的向量积：

AB × AC = (-1×4 - (-7)×1; (-7)×1 - (-5)×4; (-5)×(-1) - (-1)×(-7) ) = (-11;-29;-34)。

让我们求向量 AB × AC 和 AC 的向量积：

(AB × AC) × AC = (-29×4 - (-34)×(-7); (-34)×1 - (-11)×4; (-11)×(-7) - (- 29)×1) = (19; 110; 208)。

让我们求向量 AD 在向量 AB × AC 上的投影：

项目_AB×ACAD = (AD × (AB × AC)) / |AB × AC| = (3×19 - 9×110 + 208) / √(19² + 110² + 208²) ≈ 7.585。

现在我们来求底ABCD的面积。为此，我们求出向量 AB 和 AC 的向量积的模：

|AB×AC| = √((-1)² + (-7)² + 4²) ≈ 7.681。

底座面积为：

S_理由 = |AB × AC| / 2 ≈ 3.840。

因此，金字塔的高度约为7.585，底面积约为3.840。

力 F(3;–5;7) 施加到点 A(2;3;–5)。必要的：

• a) 计算力的作用点直线移动到B(0;4;3)点时的力的功；
• b) 求相对于 B 点的力矩模量。

回答：

• a) 将 A 点移动到 B 点时，力 F 所做的功按下式计算：

W = F·AB = (F, AB) = F₁AB₁ + F2AB2 + F₃AB₃ = 3×(-2) + (-5)×1 + 7×8 = 49。

因此，力 F 所做的功为 49。

b) 相对于B点的力矩F等于矢量积

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1. 给定向量 a(3;-2;1)、b(0;2;-3) 和 c(-3;2;-1)。您需要执行以下操作：

   a) 计算三个向量的混合积。 b) 求矢量积的模。 c) 计算两个向量的标量积。 d) 检查两个向量是否共线或正交。 e) 检查三个向量是否共面。

2. 金字塔的顶点由点 A(3;4;2)、B(-2;3;-5)、C(4;-3;6) 和 D(6;-5;3) 定义。有必要找到这个金字塔的体积。

3. 力 F(3;-5;7) 施加到点 A(2;3;-5)。您需要执行以下操作：

   a) 计算力的作用点直线移动到 B(0;4;3) 点时的功。 b) 计算相对于B点的力矩模量。

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