IDZ Ryabushko 2.2 Opción 6

1. Datos vectoriales:

   • a(3;-2;1);
   • b(0;2;-3);
   • c(-3;2;-1).

   Necesario:

   • a) calcular el producto mixto de tres vectores;
   • b) encontrar el módulo del producto vectorial;
   • c) calcular el producto escalar de dos vectores;
   • d) comprobar si dos vectores son colineales u ortogonales;
   • e) comprobar si los tres vectores son coplanares.

   Respuesta:

   • a) El producto mixto de los vectores a, byc se calcula mediante la fórmula:

   (a × b) ⋅ c = (b × c) ⋅ a = (c × a) ⋅ b = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) + a₂(b₃c₁ − b₁c₃) + a₃(b₁c₂ − b₂c₁) = 3(2×( -1) - 2×(-3)) - 2(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1(0×2 - 2×(-3)) = -12.

2. b) El módulo del producto vectorial de los vectores a y b es igual a:

|a × b| = √(a₂b₃ - a₃b₂)² + (a₃b₁ - a₁b₃)² + (a₁b₂ - a₂b₁)² = √((-2)² + 3² + 6²) = √49 = 7.

c) El producto escalar de los vectores a y b se calcula mediante la fórmula:

a ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 3×0 + (-2)×2 + 1×(-3) = -7.

d) Dos vectores distintos de cero serán colineales si uno es múltiplo del otro. Dos vectores distintos de cero serán ortogonales si su producto escalar es cero. Vamos a revisar:

• los vectores a y b no son múltiplos, ya que sus valores absolutos no son iguales y su producto escalar no es cero;
• los vectores a y c no son múltiplos, ya que sus valores absolutos no son iguales y su producto escalar no es cero;
• los vectores b y c no son múltiplos, ya que sus valores absolutos no son iguales y su producto escalar no es cero.

Por tanto, ni dos de los tres vectores son colineales, ni dos vectores son ortogonales.

e) Tres vectores serán coplanares si su producto mixto es cero. Vamos a revisar:

a ⋅ (b × c) = 3×(2×(-1) - 2×(-3)) + (-2)×(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1×(0×2 - 2×(-3)) = -12 ≠ 0.

Por tanto, los tres vectores no son coplanares.

Las cimas de la pirámide están ubicadas en los puntos:

• A(3;4;2);
• B(–2;3;–5);
• C(4;–3;6);
• D(6;–5;3).

Respuesta:

Para resolver el problema necesitas encontrar la altura de la pirámide y el área de la base.

Encontremos los vectores AB, AC y AD:

• AB = B - A = (-2 - 3; 3 - 4; -5 - 2) = (-5; -1; -7);
• Y = C - A = (4 - 3; -3 - 4; 6 - 2) = (1; -7; 4);
• ANUNCIO = D - A = (6 - 3; -5 - 4; 3 - 2) = (3; -9; 1).

La altura de la pirámide bajada a la base ABCD es igual a la longitud de la proyección del vector AD sobre la recta que pasa por los puntos B y C. Encontremos:

• Encontremos el producto cruzado de los vectores AB y AC:

AB × AC = (-1×4 - (-7)×1; (-7)×1 - (-5)×4; (-5)×(-1) - (-1)×(-7) ) = (-11; -29; -34).

Encontremos el producto vectorial de los vectores AB × AC y AC:

(AB × CA) × CA = (-29×4 - (-34)×(-7); (-34)×1 - (-11)×4; (-11)×(-7) - (- 29)×1) = (19; 110; 208).

Encontremos la proyección del vector AD sobre el vector AB × AC:

proyecto_AB×CAANUNCIO = (ANUNCIO ⋅ (AB × AC)) / |AB × AC| = (3×19 - 9×110 + 208) / √(19² + 110² + 208²) ≈ 7,585.

Ahora encontremos el área de la base ABCD. Para ello, encontramos el módulo del producto vectorial de los vectores AB y AC:

|AB × CA| = √((-1)² + (-7)² + 4²) ≈ 7,681.

El área de la base es:

S_jardines = |AB × CA| / 2 ≈ 3,840.

Así, la altura de la pirámide es de aproximadamente 7,585 y el área de la base es de aproximadamente 3,840.

Se aplica la fuerza F(3;–5;7) al punto A(2;3;–5). Necesario:

• a) calcular el trabajo de la fuerza en el caso de que el punto de su aplicación, moviéndose rectilíneamente, se mueva al punto B(0;4;3);
• b) encuentre el módulo del momento de fuerza con respecto al punto B.

Respuesta:

• a) El trabajo realizado por la fuerza F al mover el punto A al punto B se calcula mediante la fórmula:

W = F ⋅ AB = (F, AB) = F₁AB₁ + F₂AB₂ + F₃AB₃ = 3×(-2) + (-5)×1 + 7×8 = 49.

Por tanto, el trabajo realizado por la fuerza F es 49.

b) El momento de la fuerza F con respecto al punto B es igual al producto vectorial

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IDZ Ryabushko 2.2 Opción 6 es una tarea de álgebra lineal, que consta de tres tareas:

1. Dados los vectores a(3;-2;1), b(0;2;-3) yc(-3;2;-1). Necesitas hacer lo siguiente:

   a) Calcula el producto mixto de tres vectores. b) Encuentre el módulo del producto vectorial. c) Calcular el producto escalar de dos vectores. d) Comprueba si dos vectores son colineales u ortogonales. e) Compruebe si los tres vectores son coplanares.

2. Los vértices de la pirámide están definidos por los puntos A(3;4;2), B(-2;3;-5), C(4;-3;6) y D(6;-5;3). Es necesario encontrar el volumen de esta pirámide.

3. Se aplica la fuerza F(3;-5;7) al punto A(2;3;-5). Necesitas hacer lo siguiente:

   a) Calcule el trabajo de la fuerza en el caso de que el punto de su aplicación, moviéndose rectilíneamente, se desplace al punto B(0;4;3). b) Calcule el módulo del momento de fuerza con respecto al punto B.

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