IDZ Ryabushko 2.2 옵션 6

1. 벡터 데이터:

   • a(3;-2;1);
   • b(0;2;-3);
   • c(-3;2;-1).

   필요한:

   • a) 세 벡터의 혼합 곱을 계산합니다.
   • b) 벡터 곱의 계수를 구합니다.
   • c) 두 벡터의 스칼라 곱을 계산합니다.
   • d) 두 벡터가 동일선상에 있는지 직교하는지 확인합니다.
   • e) 세 벡터가 동일 평면에 있는지 확인합니다.

   답변:

   • a) 벡터 a, b, c의 혼합 곱은 다음 공식으로 계산됩니다.

   (a × b) ⋅ c = (b × c) ⋅ a = (c × a) ⋅ b = a₁(b²c₃ − b₃c²) + a²(b₃c₁ − b₁c₃) + a₃(b₁c² − b²c₁) = 3(2×( -1) - 2×(-3)) - 2(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1(0×2 - 2×(-3)) = -12.

2. b) 벡터 a와 b의 벡터 곱의 계수는 다음과 같습니다.

|a × b| = √(a²b₃ - a₃b²)² + (a₃b₁ - a₁b₃)² + (a₁b² - a²b₁)² = √((-2)² + 3² + 6²) = √49 = 7.

c) 벡터 a와 b의 스칼라 곱은 다음 공식으로 계산됩니다.

a ⋅ b = a₁b₁ + a²b₂ + a₃b₃ = 3×0 + (-2)×2 + 1×(-3) = -7.

d) 0이 아닌 두 벡터 중 하나가 다른 벡터의 배수이면 동일 선상에 있습니다. 0이 아닌 두 벡터는 스칼라 곱이 0이면 직교합니다. 점검 해보자:

• 벡터 a와 b는 절대값이 동일하지 않고 스칼라 곱이 0이 아니기 때문에 배수가 아닙니다.
• 벡터 a와 c는 절대값이 동일하지 않고 스칼라 곱이 0이 아니기 때문에 배수가 아닙니다.
• 벡터 b와 c는 절대값이 동일하지 않고 스칼라 곱이 0이 아니기 때문에 배수가 아닙니다.

따라서 세 벡터 중 두 벡터는 동일 선상에 있지 않으며 두 벡터도 직교하지 않습니다.

e) 세 벡터의 혼합 곱이 0이면 동일 평면에 있습니다. 점검 해보자:

a ⋅ (b × c) = 3×(2×(-1) - 2×(-3)) + (-2)×(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1×(0×2 - 2×(-3)) = -12 ≠ 0.

따라서 세 벡터는 동일 평면상에 있지 않습니다.

피라미드의 꼭대기는 다음 지점에 있습니다.

• A(3;4;2);
• B(–2;3;–5);
• C(4;–3;6);
• D(6;–5;3).

답변:

문제를 해결하려면 피라미드의 높이와 밑면의 면적을 찾아야 합니다.

AB, AC, AD 벡터를 찾아보겠습니다.

• AB = B - A = (-2 - 3; 3 - 4; -5 - 2) = (-5; -1; -7);
• AND = C - A = (4 - 3; -3 - 4; 6 - 2) = (1; -7; 4);
• AD = D - A = (6 - 3; -5 - 4; 3 - 2) = (3; -9; 1).

밑면 ABCD로 낮아진 피라미드의 높이는 점 B와 C를 통과하는 직선에 벡터 AD를 투영한 길이와 같습니다. 이를 찾아보겠습니다.

• 벡터 AB와 AC의 외적을 찾아보겠습니다.

AB × AC = (-1×4 - (-7)×1; (-7)×1 - (-5)×4; (-5)×(-1) - (-1)×(-7) ) = (-11; -29; -34).

벡터 AB × AC 및 AC의 벡터 곱을 찾아보겠습니다.

(AB × AC) × AC = (-29×4 - (-34)×(-7); (-34)×1 - (-11)×4; (-11)×(-7) - (- 29)×1) = (19; 110; 208).

벡터 AB × AC에 대한 벡터 AD의 투영을 찾아보겠습니다.

프로젝트_AB×ACAD = (AD ⋅ (AB × AC)) / |AB × AC| = (3×19 - 9×110 + 208) / √(19² + 110² + 208²) ≒ 7.585.

이제 기본 ABCD의 면적을 찾아 보겠습니다. 이를 위해 벡터 AB와 AC의 벡터 곱의 계수를 찾습니다.

|AB × AC| = √((-1)² + (-7)² + 4²) ≒ 7.681.

기지의 면적은 다음과 같습니다.

에스_근거 = |AB × AC| / 2 ≒ 3.840.

따라서 피라미드의 높이는 약 7.585이고 밑면의 면적은 약 3.840입니다.

힘 F(3;–5;7)가 점 A(2;3;–5)에 적용됩니다. 필요한:

• a) 적용 지점이 직선으로 이동하여 지점 B(0;4;3)로 이동하는 경우 힘의 작용을 계산합니다.
• b) 점 B에 대한 힘의 순간 계수를 구합니다.

답변:

• a) A점을 B점으로 이동할 때 힘 F가 한 일은 다음 공식으로 계산됩니다.

W = F ⋅ AB = (F, AB) = F₁AB₁ + F₂AB₂ + F₃AB₃ = 3×(-2) + (-5)×1 + 7×8 = 49.

따라서 힘 F가 한 일은 49이다.

b) 점 B에 대한 힘 F의 순간은 벡터 곱과 같습니다.

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IDZ Ryabushko 2.2 옵션 6은 선형 대수학 작업으로, 세 가지 작업으로 구성됩니다.

1. 주어진 벡터 a(3;-2;1), b(0;2;-3) 및 c(-3;2;-1). 다음을 수행해야 합니다.

   a) 세 벡터의 혼합 곱을 계산합니다. b) 벡터 곱의 모듈러스를 구합니다. c) 두 벡터의 스칼라 곱을 계산합니다. d) 두 벡터가 동일선상에 있는지 직교하는지 확인합니다. e) 세 벡터가 동일 평면에 있는지 확인합니다.

2. 피라미드의 꼭지점은 점 A(3;4;2), B(-2;3;-5), C(4;-3;6) 및 D(6;-5;3)로 정의됩니다. 이 피라미드의 부피를 구하는 것이 필요합니다.

3. 힘 F(3;-5;7)가 점 A(2;3;-5)에 적용됩니다. 다음을 수행해야 합니다.

   a) 힘의 작용점이 직선으로 이동하여 B(0;4;3) 지점으로 이동하는 경우 힘의 작용을 계산하십시오. b) 점 B에 대한 힘의 모멘트 계수를 계산합니다.

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