IDZ Ryabushko 2.2 Επιλογή 6

1. Διανυσματικά δεδομένα:

   • α(3;-2;1);
   • b(0;2;-3);
   • c(-3;2;-1).

   Απαραίτητη:

   • α) να υπολογίσετε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων.
   • β) βρείτε το μέτρο του διανυσματικού γινομένου.
   • γ) να υπολογίσετε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων.
   • δ) ελέγξτε εάν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά ή ορθογώνια.
   • ε) ελέγξτε εάν τα τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα.

   Απάντηση:

   • α) Το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων a, b και c υπολογίζεται με τον τύπο:

   (a × b) ⋅ c = (b × c) ⋅ a = (c × a) ⋅ b = a1(b2c3 − b3c2) + a2(b3c1 − b1c3) + a3(b1×33) -1) - 2×(-3)) - 2(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1(0×2 - 2×(-3)) = -12.

2. β) Το μέτρο του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων a και b είναι ίσο με:

|a × b| = √(a2b3 - a3b2)² + (a₃b1 - a1b3)² + (a1b2 - a2b1)² = √((-2)² + 3² + 6²) = √49 = √49 = .

γ) Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b υπολογίζεται με τον τύπο:

a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 3×0 + (-2)×2 + 1×(-3) = -7.

δ) Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα είναι συγγραμμικά αν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα είναι ορθογώνια εάν το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν. Ας ελέγξουμε:

• Τα διανύσματα a και b δεν είναι πολλαπλάσια, αφού οι απόλυτες τιμές τους δεν είναι ίσες και το κλιμακωτό γινόμενο τους δεν είναι μηδέν.
• τα διανύσματα a και c δεν είναι πολλαπλάσια, αφού οι απόλυτες τιμές τους δεν είναι ίσες και το κλιμακωτό γινόμενο τους δεν είναι μηδέν.
• Τα διανύσματα b και c δεν είναι πολλαπλάσια, αφού οι απόλυτες τιμές τους δεν είναι ίσες και το κλιμακωτό γινόμενο τους δεν είναι μηδέν.

Επομένως, ούτε δύο από τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά, ούτε δύο διανύσματα είναι ορθογώνια.

ε) Τρία διανύσματα θα είναι συνεπίπεδα αν το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν. Ας ελέγξουμε:

a ⋅ (b × c) = 3×(2×(-1) - 2×(-3)) + (-2)×(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1×(0×2 - 2×(-3)) = -12 ≠ 0.

Επομένως, τα τρία διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα.

Οι κορυφές της πυραμίδας βρίσκονται στα σημεία:

• Α(3;4;2);
• B(–2;3;–5);
• C(4;–3;6);
• D(6;–5;3).

Απάντηση:

Για να λύσετε το πρόβλημα πρέπει να βρείτε το ύψος της πυραμίδας και την περιοχή της βάσης.

Ας βρούμε τα διανύσματα AB, AC και AD:

• ΑΒ = Β - Α = (-2 - 3; 3 - 4; -5 - 2) = (-5; -1; -7);
• AND = C - A = (4 - 3; -3 - 4; 6 - 2) = (1; -7; 4);
• AD = D - A = (6 - 3; -5 - 4; 3 - 2) = (3; -9; 1).

Το ύψος της πυραμίδας που κατεβαίνει στη βάση ABCD είναι ίσο με το μήκος της προβολής του διανύσματος AD στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ. Ας το βρούμε:

• Ας βρούμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων AB και AC:

AB × AC = (-1×4 - (-7)×1; (-7)×1 - (-5)×4; (-5)×(-1) - (-1)×(-7) ) = (-11; -29; -34).

Ας βρούμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων AB × AC και AC:

(AB × AC) × AC = (-29×4 - (-34)×(-7); (-34)×1 - (-11)×4; (-11)×(-7) - (- 29)×1) = (19; 110; 208).

Ας βρούμε την προβολή του διανύσματος AD στο διάνυσμα AB × AC:

proj_AB×ACAD = (AD ⋅ (AB × AC)) / |AB × AC| = (3×19 - 9×110 + 208) / √(19² + 110² + 208²) ≈ 7.585.

Τώρα ας βρούμε το εμβαδόν της βάσης ABCD. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το μέτρο του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων AB και AC:

|AB × AC| = √((-1)² + (-7)² + 4²) ≈ 7.681.

Το εμβαδόν της βάσης είναι:

Μικρό_λόγους = |AB × AC| / 2 ≈ 3.840.

Έτσι, το ύψος της πυραμίδας είναι περίπου 7.585 και η περιοχή της βάσης είναι περίπου 3.840.

Η δύναμη F(3;–5;7) εφαρμόζεται στο σημείο A(2;3;–5). Απαραίτητη:

• α) να υπολογίσετε το έργο της δύναμης στην περίπτωση που το σημείο εφαρμογής του, κινούμενο ευθύγραμμα, μετακινείται στο σημείο Β(0;4;3).
• β) βρείτε το μέτρο της ροπής δύναμης σε σχέση με το σημείο Β.

Απάντηση:

• α) Το έργο που εκτελείται από τη δύναμη F κατά τη μετακίνηση του σημείου Α στο σημείο Β υπολογίζεται από τον τύπο:

W = F ⋅ AB = (F, AB) = F1AB1 + F2AB2 + F3AB3 = 3×(-2) + (-5)×1 + 7×8 = 49.

Επομένως, το έργο που γίνεται με τη δύναμη F είναι 49.

β) Η ροπή της δύναμης F σε σχέση με το σημείο Β είναι ίση με το διανυσματικό γινόμενο

Το Ryabushko IDZ 2.2 Option 6 είναι ένα ψηφιακό προϊόν που αντιπροσωπεύει εργασίες για την εκτέλεση της εργασίας στα μαθηματικά. Αυτό το προϊόν περιέχει 10 μοναδικές εργασίες που θα βοηθήσουν τους μαθητές να εδραιώσουν και να επεκτείνουν τις γνώσεις τους στον τομέα των μαθηματικών.

Κάθε εργασία παρουσιάζεται σε ένα όμορφο έγγραφο HTML που είναι εύκολο να διαβαστεί και να κατανοηθεί. Η εμφάνιση του εγγράφου είναι ελκυστική και βολική στη χρήση, γεγονός που καθιστά εύκολη και γρήγορη την πλοήγηση στην εργασία και την εύρεση των απαραίτητων πληροφοριών.

Το IDZ Ryabushko 2.2 Option 6 είναι μια ιδανική επιλογή για όσους θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά και να αντιμετωπίσουν με επιτυχία την εργασία στο σπίτι. Ο όμορφος σχεδιασμός και οι ουσιαστικές εργασίες θα κάνουν τη διαδικασία μάθησης πιο ενδιαφέρουσα και συναρπαστική.

Δεν μπορώ να συνεχίσω να απαντώ γιατί η τελευταία πρόταση στην ερώτησή σας δεν έχει νόημα και δεν μου επιτρέπει να καταλάβω τι ακριβώς θέλετε να μάθετε για το προϊόν. Εάν έχετε συγκεκριμένες ερωτήσεις σχετικά με το Ryabushko IDZ 2.2 Επιλογή 6, μπορώ να προσπαθήσω να τις απαντήσω.

***

IDZ Ryabushko 2.2 Η επιλογή 6 είναι μια εργασία στη γραμμική άλγεβρα, η οποία αποτελείται από τρεις εργασίες:

1. Δίνονται τα διανύσματα a(3;-2;1), b(0;2;-3) και c(-3;2;-1). Πρέπει να κάνετε τα εξής:

   α) Να υπολογίσετε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων. β) Να βρείτε το μέτρο του διανυσματικού γινομένου. γ) Να υπολογίσετε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων. δ) Ελέγξτε εάν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά ή ορθογώνια. ε) Ελέγξτε αν τα τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα.

2. Οι κορυφές της πυραμίδας ορίζονται από τα σημεία A(3;4;2), B(-2;3;-5), C(4;-3;6) και D(6;-5;3). Είναι απαραίτητο να βρείτε τον όγκο αυτής της πυραμίδας.

3. Η δύναμη F(3;-5;7) εφαρμόζεται στο σημείο A(2;3;-5). Πρέπει να κάνετε τα εξής:

   α) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης στην περίπτωση που το σημείο εφαρμογής της, κινούμενο ευθύγραμμα, κινείται στο σημείο Β(0;4;3). β) Να υπολογίσετε το μέτρο της ροπής δύναμης σε σχέση με το σημείο Β.

***

1. Πολύ βολική και κατανοητή μορφή ανάθεσης.
2. Χάρη στο IDZ Ryabushko 2.2 Option 6, μπόρεσα να προετοιμαστώ εύκολα και γρήγορα για την εξέταση.
3. Μια εξαιρετική επιλογή για αυτοδιδασκαλία στα μαθηματικά.
4. Το IPD βοηθά στην κατανόηση πολύπλοκων θεμάτων και στην ενοποίηση του υλικού.
5. Οι εργασίες στο Ryabushko IDZ 2.2 Option 6 είναι καλά δομημένες και λογικά διατεταγμένες.
6. Μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να βελτιώσουν το επίπεδο γνώσεών τους στα μαθηματικά.
7. Το IDZ Ryabushko 2.2 Option 6 είναι ένας απαραίτητος βοηθός στην προετοιμασία για Ολυμπιάδες και διαγωνισμούς.
8. Είναι πολύ βολικό όλες οι εργασίες στο IPD να δίνονται με λεπτομερείς λύσεις.
9. Το IDZ Ryabushko 2.2 Option 6 είναι μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να βελτιώσουν τις δεξιότητές τους στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.
10. Είμαι πολύ ευχαριστημένος με το Ryabushko IDZ 2.2 Option 6, χάρη σε αυτό μπόρεσα να περάσω με επιτυχία την εξέταση μαθηματικών.

Ιδιαιτερότητες:

Ένα πολύ χρήσιμο ψηφιακό προϊόν για προετοιμασία εξετάσεων!

Το IDZ Ryabushko 2.2 Option 6 με βοήθησε να κατανοήσω καλύτερα το υλικό.

Μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να πάρουν υψηλό βαθμό για την εργασία!

Ευχαριστώ για το Ryabushko IDZ 2.2 Option 6, μπόρεσα να περάσω με επιτυχία την εξέταση.

Πολύ βολική μορφή και σαφής δομή εργασιών.

Συνιστώ αυτό το ψηφιακό προϊόν σε όποιον αναζητά έναν αποτελεσματικό τρόπο προετοιμασίας για μια εξέταση.

Το IDZ Ryabushko 2.2 Option 6 είναι μια εξαιρετική επιλογή για γρήγορη και υψηλής ποιότητας προετοιμασία για τις εξετάσεις.