IDZ リャブシュコ 2.2 オプション 6

1. ベクターデータ:

   • a(3;-2;1);
   • b(0;2;-3);
   • c(-3;2;-1)。

   必要：

   • a) 3 つのベクトルの混合積を計算します。
   • b) ベクトル積の係数を求めます。
   • c) 2 つのベクトルのスカラー積を計算します。
   • d) 2 つのベクトルが同一線上にあるか直交しているかをチェックします。
   • e) 3 つのベクトルが同一平面上にあるかどうかを確認します。

   答え：

   • a) ベクトル a、b、c の混合積は次の式で計算されます。

   (a × b) ⋅ c = (b × c) ⋅ a = (c × a) ⋅ b = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) + a₂(b₃c₁ − b₁c₃) + a₃(b₁c₂ − b₂c₁) = 3(2×( -1) - 2×(-3)) - 2(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1(0×2 - 2×(-3)) = -12。

2. b) ベクトル a と b のベクトル積の係数は次と等しくなります。

|a×b| = √(a₂b₃ - a₃b₂)² + (a₃b₁ - a₁b₃)² + (a₁b₂ - a₂b₁)² = √((-2)² + 3² + 6²) = √49 = 7。

c) ベクトル a と b のスカラー積は、次の式で計算されます。

a ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 3×0 + (-2)×2 + 1×(-3) = -7。

d) 2 つの非ゼロ ベクトルは、一方が他方の倍数である場合、同一線上にあります。 2 つの非ゼロ ベクトルは、その内積がゼロの場合に直交します。確認しよう：

• ベクトル a と b は、絶対値が等しくなく、スカラー積がゼロではないため、倍数ではありません。
• ベクトル a と c は、絶対値が等しくなく、スカラー積がゼロではないため、倍数ではありません。
• ベクトル b と c は、絶対値が等しくなく、スカラー積がゼロではないため、倍数ではありません。

したがって、3 つのベクトルのうち 2 つは同一線上になく、2 つのベクトルは直交しません。

e) 3 つのベクトルは、それらの混合積がゼロに等しい場合、同一平面上にあります。確認しよう：

a ⋅ (b × c) = 3×(2×(-1) - 2×(-3)) + (-2)×(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1×(0×2 - 2×(-3)) = -12 ≠ 0。

したがって、3 つのベクトルは同一平面上にありません。

ピラミッドの頂上は次の点にあります。

• A(3;4;2);
• B(-2;3;-5);
• C(4;–3;6);
• D(6;–5;3)。

答え：

問題を解決するには、ピラミッドの高さと底辺の面積を見つける必要があります。

ベクトル AB、AC、AD を見つけてみましょう。

• AB = B - A = (-2 - 3; 3 - 4; -5 - 2) = (-5; -1; -7);
• AND = C - A = (4 - 3; -3 - 4; 6 - 2) = (1; -7; 4);
• AD = D - A = (6 - 3; -5 - 4; 3 - 2) = (3; -9; 1)。

底辺 ABCD まで下げたピラミッドの高さは、点 B と C を通過する直線上へのベクトル AD の投影の長さに等しくなります。これを求めてみましょう。

• ベクトル AB とベクトル AC のベクトル積を求めてみましょう。

AB × AC = (-1×4 - (-7)×1; (-7)×1 - (-5)×4; (-5)×(-1) - (-1)×(-7) ) = (-11; -29; -34)。

ベクトル AB × AC と AC のベクトル積を求めてみましょう。

(AB × AC) × AC = (-29×4 - (-34)×(-7); (-34)×1 - (-11)×4; (-11)×(-7) - (- 29)×1) = (19; 110; 208)。

ベクトル AD のベクトル AB × AC への射影を求めてみましょう。

プロジェクト_AB×ACAD = (AD ⋅ (AB × AC)) / |AB × AC| = (3×19 - 9×110 + 208) / √(19² + 110² + 208²) ≈ 7.585。

では、底辺ABCDの面積を求めてみましょう。これを行うには、ベクトル AB と AC のベクトル積の係数を求めます。

|AB×AC| = √((-1)² + (-7)² + 4²) ≈ 7.681。

基地の面積は次のとおりです。

S_根拠 = |AB × AC| / 2 ≈ 3.840。

したがって、ピラミッドの高さは約 7.585、底面の面積は約 3.840 になります。

力 F(3;–5;7) が点 A(2;3;–5) に適用されます。必要：

• a) 直線的に移動する力の作用点が点 B(0;4;3) に移動する場合の力の仕事を計算します。
• b) 点 B に対する力のモーメントの係数を求めます。

答え：

• a) 点 A を点 B に移動するときに力 F によって行われる仕事は、次の式で計算されます。

W = F ⋅ AB = (F, AB) = F₁AB₁ + F₂AB₂ + F₃AB₃ = 3×(-2) + (-5)×1 + 7×8 = 49。

したがって、力 F によって行われる仕事は 49 です。

b) 点 B に対する力のモーメント F はベクトル積に等しい

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IDZ Ryabushko 2.2 オプション 6 は線形代数のタスクであり、次の 3 つのタスクで構成されます。

1. ベクトル a(3;-2;1)、b(0;2;-3)、および c(-3;2;-1) が与えられるとします。次のことを行う必要があります。

   a) 3 つのベクトルの混合積を計算します。 b) ベクトル積の係数を求めます。 c) 2 つのベクトルの内積を計算します。 d) 2 つのベクトルが同一線上にあるか直交しているかを確認します。 e) 3 つのベクトルが同一平面上にあるかどうかを確認します。

2. ピラミッドの頂点は、点 A(3;4;2)、B(-2;3;-5)、C(4;-3;6)、および D(6;-5;3) によって定義されます。このピラミッドの体積を求める必要があります。

3. 力 F(3;-5;7) が点 A(2;3;-5) に適用されます。次のことを行う必要があります。

   a) 力の作用点が直線的に移動して点 B(0;4;3) に移動する場合の、力の仕事を計算します。 b) 点 B を基準とした力のモーメントの係数を計算します。

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