IDZ 11.2 – Opção 5. Soluções Ryabushko A.P.

1. Primeiro, vamos encontrar uma solução particular para a equação diferencial y´´= 4cos2x. Integrando duas vezes, obtemos y = -cos2x + Ax + B, onde A e B são constantes arbitrárias. A seguir, substituindo as condições iniciais y(0) = 1 e y´(0) = 3, encontramos os valores das constantes A e B: A = (3+cos0,5π)/0,5π ≈ 6,45 e B = 1 + cos0,5π - 6,45*0,5π ≈ 0,22. Assim, a solução parcial tem a forma y = -cos2x + 6,45x + 0,22. Substituindo o valor x = π/4, obtemos y(π/4) ≈ 4,12.

2. Considere a equação diferencial y´´xlnx = y´. Vamos fazer a substituição y´ = v, então y´´ = v´ + v/x. Substituindo isso na equação original, obtemos v´ + v/x = v, que é equivalente a v´ = -v/x. Vamos resolver esta equação usando o método de separação de variáveis: v´/v = -1/x dx, ln|v| = -ln|x| + C1, onde C1 é uma constante arbitrária. Assim, v = C/x, onde C é uma constante arbitrária. Voltando às variáveis ​​originais, obtemos y´ = C/x, y = C ln|x| + D, onde D é uma constante arbitrária. No total, a solução geral da equação diferencial tem a forma y = C ln|x| +D.

3. Considere a equação diferencial y´´tgy = 2y´2. Vamos fazer a substituição y´ = v, então y´´ = v´´tg(x) + (v´)2sec2(x). Substituindo isso na equação original, obtemos v´´tg(x) + (v´)2sec2(x) = 2v2. Para simplificar a equação, usamos a substituição u = v2, então u´ = 2vv´. Substituindo isso na equação original, obtemos u´/2 = utg(x) + usec2(x), que é equivalente a u´/2u = tan(x) + sec2(x). Vamos resolver esta equação usando o método de separação de variáveis: ln|u|/2 = ln|sin(x)| - ln|cos(x)| + C1, onde C1 é uma constante arbitrária. Assim, u = C sin(x)/cos2(x), onde C é uma constante arbitrária. Voltando às variáveis ​​originais, obtemos v = ±√(C sin(x)/cos2(x)), y = ∫v dx = ±∫√(C sin(x)/cos2(x)) dx. Para integrar, usamos a substituição t = cos(x), então y = ±∫√(C/t) dt = ±2√Ct + C1, onde C1 é uma constante arbitrária. No total, a solução geral da equação diferencial tem a forma y = ±2√Ccos(x) + C1.

4. Considere a equação (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. Para resolver, usamos a substituição y = xz, então y´ = z + xz´. Substituindo isso na equação original, obtemos (x/√x^2 - x^2z^2 - 1)dx - (xz + x^2z´)/√(x^2 - x^2z^2) dz = 0. Tirando x do primeiro termo e combinando as frações do segundo termo, obtemos (1/√(1 - z^2))dz = (1/x)(√(x^2 - x^2z^ 2))dx. Vamos resolver esta equação usando o método de separação de variáveis: ∫(1/√(1 - z^2))dz = ∫(1/x)(√(x^2 - x^2z^2))dx, arcsin( z) = ln |x| + C1, onde C1 é uma constante arbitrária. Assim, z = sin(ln|x| + C1), y = xz = xsin(ln|x| + C1). No total, a solução da equação é a curva y = x*sin(ln|x| + C1).

5. Vamos escrever a equação de uma curva que passa pelo ponto A(-2, 1), se o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto for igual à ordenada deste ponto, aumentado 5 vezes. A inclinação da tangente é igual à derivada da função em um determinado ponto. Seja y = f(x) a equação da curva desejada. Então a condição na inclinação pode ser escrita como f´(x) = 5f(x). Vamos resolver esta equação usando o método de separação de variáveis: f´(x)/f(x) = 5 dx, ln|f(x)| = 5x + C1, onde C1 é uma constante arbitrária. Substituindo as coordenadas do ponto A(-2, 1), encontramos C1 = ln|1/2|. Assim, a equação da curva desejada tem a forma y = f(x) = Ce^(5x), onde C = 1/2. No total, a equação da curva que passa pelo ponto A(-2, 1) e satisfaz a condição dada tem a forma y = (1/2)e^(5x).

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IDZ 11.2 – Opção 5. Soluções Ryabushko A.P. é uma coleção de soluções para problemas de análise matemática. Esta versão contém problemas de equações diferenciais e curvas no plano.

1. No primeiro problema, você precisa encontrar uma solução específica para a equação diferencial e calcular o valor da função y=φ(x) em x=x0 com precisão de duas casas decimais. A equação tem a forma: 1,5 y´´= 4cos2x, x0 = π/4, y(0) = 1, y´(0) = 3. A solução para este problema é apresentada na coleção e projetada usando o editor de fórmulas Microsoft Word 2003.

2. O segundo problema requer encontrar uma solução geral para uma equação diferencial que possa ser reduzida em ordem. A equação se parece com: 2,5 y´´xlnx = y´. Não há solução para este problema nesta versão.

3. O terceiro problema requer a resolução do problema de Cauchy para uma equação diferencial que pode ser reduzida em ordem. A equação tem a forma: 3,5 y´´tgy = 2y´2, y(1) = π/2, y´(1) = 2. A solução para este problema é apresentada na coleção e desenhada usando o editor de fórmulas Microsoft Palavra 2003.

4. O quarto problema requer a integração desta equação: 4,5 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. Não há solução para este problema nesta versão.

5. No quinto problema, é necessário escrever a equação de uma curva que passa pelo ponto A(x0, y0), se for conhecido que a inclinação da tangente em qualquer ponto é igual à ordenada deste ponto, aumentada por mil vezes. O ponto A possui coordenadas A(−2, 1), k = 5. A solução para este problema não está disponível nesta versão.

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