Primero, encontremos una solución particular a la ecuación diferencial y´´= 4cos2x. Integrando dos veces, obtenemos y = -cos2x + Ax + B, donde A y B son constantes arbitrarias. A continuación, sustituyendo las condiciones iniciales y(0) = 1 e y´(0) = 3, encontramos los valores de las constantes A y B: A = (3+cos0,5π)/0,5π ≈ 6,45 y B = 1 + cos0,5π - 6,45*0,5π ≈ 0,22. Por tanto, la solución parcial tiene la forma y = -cos2x + 6,45x + 0,22. Sustituyendo el valor x = π/4, obtenemos y(π/4) ≈ 4,12.
Considere la ecuación diferencial y´´xlnx = y´. Hagamos el reemplazo y´ = v, luego y´´ = v´ + v/x. Sustituyendo esto en la ecuación original, obtenemos v´ + v/x = v, lo que equivale a v´ = -v/x. Resolvamos esta ecuación usando el método de separación de variables: v´/v = -1/x dx, ln|v| = -ln|x| + C1, donde C1 es una constante arbitraria. Por tanto, v = C/x, donde C es una constante arbitraria. Volviendo a las variables originales, obtenemos y´ = C/x, y = C ln|x| + D, donde D es una constante arbitraria. En total, la solución general de la ecuación diferencial tiene la forma y = C ln|x| +D.
Considere la ecuación diferencial y´´tgy = 2y´2. Hagamos el reemplazo y´ = v, entonces y´´ = v´´tg(x) + (v´)2sec2(x). Sustituyendo esto en la ecuación original, obtenemos v´´tg(x) + (v´)2sec2(x) = 2v2. Para simplificar la ecuación, usamos la sustitución u = v2, luego u´ = 2vv´. Sustituyendo esto en la ecuación original, obtenemos u´/2 = utg(x) + usec2(x), que es equivalente a u´/2u = tan(x) + sec2(x). Resolvamos esta ecuación usando el método de separación de variables: ln|u|/2 = ln|sin(x)| - ln|cos(x)| + C1, donde C1 es una constante arbitraria. Por tanto, u = C sin(x)/cos2(x), donde C es una constante arbitraria. Volviendo a las variables originales, obtenemos v = ±√(C sin(x)/cos2(x)), y = ∫v dx = ±∫√(C sin(x)/cos2(x)) dx. Para integrar, usamos la sustitución t = cos(x), luego y = ±∫√(C/t) dt = ±2√Ct + C1, donde C1 es una constante arbitraria. En total, la solución general de la ecuación diferencial tiene la forma y = ±2√Ccos(x) + C1.
Considere la ecuación (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. Para resolver, usamos el reemplazo y = xz, luego y´ = z + xz´. Sustituyendo esto en la ecuación original, obtenemos (x/√x^2 - x^2z^2 - 1)dx - (xz + x^2z´)/√(x^2 - x^2z^2) dz = 0. Sacando x del primer término y combinando las fracciones del segundo término, obtenemos (1/√(1 - z^2))dz = (1/x)(√(x^2 - x^2z^ 2))dx. Resolvamos esta ecuación usando el método de separación de variables: ∫(1/√(1 - z^2))dz = ∫(1/x)(√(x^2 - x^2z^2))dx, arcsin( z) = ln |x| + C1, donde C1 es una constante arbitraria. Por lo tanto, z = sin(ln|x| + C1), y = xz = xsin(ln|x| + C1). En total, la solución de la ecuación es la curva y = x*sin(ln|x| + C1).
Escribamos la ecuación de una curva que pasa por el punto A(-2, 1), si el coeficiente angular de la tangente en cualquier punto es igual a la ordenada de este punto, aumentada 5 veces. La pendiente de la tangente es igual a la derivada de la función en un punto dado. Sea y = f(x) la ecuación de la curva deseada. Entonces la condición de la pendiente se puede escribir como f´(x) = 5f(x). Resolvamos esta ecuación usando el método de separación de variables: f´(x)/f(x) = 5 dx, ln|f(x)| = 5x + C1, donde C1 es una constante arbitraria. Sustituyendo las coordenadas del punto A(-2, 1), encontramos C1 = ln|1/2|. Por tanto, la ecuación de la curva deseada tiene la forma y = f(x) = Ce^(5x), donde C = 1/2. En total, la ecuación de la curva que pasa por el punto A(-2, 1) y satisface la condición dada tiene la forma y = (1/2)e^(5x).
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IDZ 11.2 – Opción 5. Soluciones Ryabushko A.P.
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IDZ 11.2 – Opción 5. Soluciones Ryabushko A.P. es una colección de soluciones a problemas de análisis matemático. Esta versión contiene problemas sobre ecuaciones diferenciales y curvas en el plano.
En el primer problema, necesitas encontrar una solución particular a la ecuación diferencial y calcular el valor de la función y=φ(x) en x=x0 con una precisión de dos decimales. La ecuación tiene la forma: 1,5 y´´= 4cos2x, x0 = π/4, y(0) = 1, y´(0) = 3. La solución a este problema se presenta en la colección y se diseña usando el editor de fórmulas. Microsoft Word 2003.
El segundo problema requiere encontrar una solución general a una ecuación diferencial que pueda reducirse en orden. La ecuación queda así: 2,5 y´´xlnx = y´. No hay solución a este problema en esta versión.
El tercer problema requiere resolver el problema de Cauchy para una ecuación diferencial que pueda reducirse en orden. La ecuación tiene la forma: 3,5 y´´tgy = 2y´2, y(1) = π/2, y´(1) = 2. La solución a este problema se presenta en la colección y se diseña utilizando el editor de fórmulas de Microsoft. Palabra 2003.
El cuarto problema requiere integrar esta ecuación: 4.5 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. No hay solución a este problema en esta versión.
En el quinto problema, se requiere escribir la ecuación de una curva que pasa por el punto A(x0, y0), si se sabe que la pendiente de la tangente en cualquier punto es igual a la ordenada de este punto, aumentada en k veces. El punto A tiene coordenadas A(−2, 1), k = 5. La solución a este problema no está disponible en esta versión.
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Las soluciones IPD 11.2 Opción 5 están bien estructuradas y son fáciles de leer.
Muchas gracias al autor Ryabushko A.P. para soluciones IPD de alta calidad 11.2 Opción 5.
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