IDZ 11.2 – Option 5. Solutions Ryabushko A.P.

1. Tout d’abord, trouvons une solution particulière à l’équation différentielle y´´= 4cos2x. En intégrant deux fois, nous obtenons y = -cos2x + Ax + B, où A et B sont des constantes arbitraires. Ensuite, en substituant les conditions initiales y(0) = 1 et y´(0) = 3, on trouve les valeurs des constantes A et B : A = (3+cos0.5π)/0.5π ≈ 6.45 et B = 1 + cos0,5π - 6,45*0,5π ≈ 0,22. Ainsi, la solution partielle a la forme y = -cos2x + 6,45x + 0,22. En remplaçant la valeur x = π/4, nous obtenons y(π/4) ≈ 4,12.

2. Considérons l'équation différentielle y´´xlnx = y´. Faisons le remplacement y´ = v, alors y´´ = v´ + v/x. En remplaçant cela dans l'équation originale, nous obtenons v´ + v/x = v, ce qui équivaut à v´ = -v/x. Résolvons cette équation en utilisant la méthode de séparation des variables : v´/v = -1/x dx, ln|v| = -ln|x| + C1, où C1 est une constante arbitraire. Ainsi, v = C/x, où C est une constante arbitraire. En revenant aux variables d'origine, nous obtenons y´ = C/x, y = C ln|x| + D, où D est une constante arbitraire. Au total, la solution générale de l'équation différentielle a la forme y = C ln|x| +D.

3. Considérons l'équation différentielle y´´tgy = 2y´2. Faisons le remplacement y´ = v, alors y´´ = v´´tg(x) + (v´)2sec2(x). En remplaçant cela dans l'équation d'origine, nous obtenons v´´tg(x) + (v´)2sec2(x) = 2v2. Pour simplifier l'équation, nous utilisons la substitution u = v2, alors u´ = 2vv´. En remplaçant cela dans l'équation originale, nous obtenons u´/2 = utg(x) + usec2(x), ce qui équivaut à u´/2u = tan(x) + sec2(x). Résolvons cette équation en utilisant la méthode de séparation des variables : ln|u|/2 = ln|sin(x)| - ln|cos(x)| + C1, où C1 est une constante arbitraire. Ainsi, u = C sin(x)/cos2(x), où C est une constante arbitraire. En revenant aux variables d'origine, nous obtenons v = ±√(C sin(x)/cos2(x)), y = ∫v dx = ±∫√(C sin(x)/cos2(x)) dx. Pour intégrer, nous utilisons la substitution t = cos(x), alors y = ±∫√(C/t) dt = ±2√Ct + C1, où C1 est une constante arbitraire. Au total, la solution générale de l’équation différentielle a la forme y = ±2√Ccos(x) + C1.

4. Considérons l'équation (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. Pour résoudre, nous utilisons le remplacement y = xz, puis y´ = z + xz´. En remplaçant cela dans l'équation d'origine, nous obtenons (x/√x^2 - x^2z^2 - 1)dx - (xz + x^2z´)/√(x^2 - x^2z^2) dz = 0. En sortant x du premier terme et en combinant les fractions du deuxième terme, nous obtenons (1/√(1 - z^2))dz = (1/x)(√(x^2 - x^2z^ 2))dx. Résolvons cette équation en utilisant la méthode de séparation des variables : ∫(1/√(1 - z^2))dz = ∫(1/x)(√(x^2 - x^2z^2))dx, arcsin( z) = ln |x| + C1, où C1 est une constante arbitraire. Ainsi, z = sin(ln|x| + C1), y = xz = xsin(ln|x| + C1). Au total, la solution de l'équation est la courbe y = x*sin(ln|x| + C1).

5. Écrivons l'équation d'une courbe passant par le point A(-2, 1), si le coefficient angulaire de la tangente en tout point est égal à l'ordonnée de ce point, augmentée de 5 fois. La pente de la tangente est égale à la dérivée de la fonction en un point donné. Soit y = f(x) l'équation de la courbe souhaitée. Alors la condition sur la pente peut s’écrire f´(x) = 5f(x). Résolvons cette équation en utilisant la méthode de séparation des variables : f´(x)/f(x) = 5 dx, ln|f(x)| = 5x + C1, où C1 est une constante arbitraire. En remplaçant les coordonnées du point A(-2, 1), nous trouvons C1 = ln|1/2|. Ainsi, l'équation de la courbe souhaitée a la forme y = f(x) = Ce^(5x), où C = 1/2. Au total, l'équation de la courbe passant par le point A(-2, 1) et satisfaisant la condition donnée a la forme y = (1/2)e^(5x).

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IDZ 11.2 – Option 5. Solutions Ryabushko A.P.

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IDZ 11.2 – Option 5. Solutions Ryabushko A.P. est un ensemble de solutions à des problèmes d'analyse mathématique. Cette version contient des problèmes sur les équations différentielles et les courbes sur le plan.

1. Dans le premier problème, vous devez trouver une solution particulière à l’équation différentielle et calculer la valeur de la fonction y=φ(x) à x=x0 avec une précision de deux décimales. L'équation a la forme : 1,5 y´´= 4cos2x, x0 = π/4, y(0) = 1, y´(0) = 3. La solution à ce problème est présentée dans la collection et conçue à l'aide de l'éditeur de formules. Microsoft Word 2003.

2. Le deuxième problème nécessite de trouver une solution générale à une équation différentielle qui peut être réduite dans l'ordre. L'équation ressemble à : 2,5 y´´xlnx = y´. Il n'y a pas de solution à ce problème dans cette version.

3. Le troisième problème nécessite de résoudre le problème de Cauchy pour une équation différentielle pouvant être réduite dans l'ordre. L'équation a la forme : 3,5 y´´tgy = 2y´2, y(1) = π/2, y´(1) = 2. La solution à ce problème est présentée dans la collection et conçue à l'aide de l'éditeur de formules Microsoft Mot 2003.

4. Le quatrième problème nécessite d'intégrer cette équation : 4,5 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. Il n'y a pas de solution à ce problème dans cette version.

5. Dans le cinquième problème, il faut écrire l'équation d'une courbe passant par le point A(x0, y0), si l'on sait que la pente de la tangente en tout point est égale à l'ordonnée de ce point, augmentée de k fois. Le point A a les coordonnées A(−2, 1), k = 5. La solution à ce problème n'est pas disponible dans cette version.

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