IDZ 11.2 – オプション 5. ソリューション Ryabushko A.P.

1. まず、微分方程式 y´´= 4cos2x の特定の解を見つけてみましょう。 2 回積分すると、y = -cos2x + Ax + B が得られます。ここで、A と B は任意の定数です。次に、初期条件 y(0) = 1 および y´(0) = 3 を代入して、定数 A と B の値を求めます。 A = (3+cos0.5π)/0.5π ≈ 6.45 および B = 1 + cos0.5π - 6.45*0.5π ≈ 0.22。したがって、部分解は y = -cos2x + 6.45x + 0.22 の形式になります。値 x = π/4 を代入すると、y(π/4) ≈ 4.12 が得られます。

2. 微分方程式 y´´xlnx = y´ を考えてみましょう。 y´ = v、y´´ = v´ + v/x と置換してみましょう。これを元の方程式に代入すると、v´ + v/x = v が得られます。これは v´ = -v/x と同等です。変数分離法を使用してこの方程式を解いてみましょう: v´/v = -1/x dx, ln|v| = -ln|x| + C1。C1 は任意の定数です。したがって、v = C/x となります。ここで、C は任意の定数です。元の変数に戻ると、y´ = C/x、y = C ln|x| が得られます。 + D。D は任意の定数です。全体として、微分方程式の一般解は次の形式になります。 y = C ln|x| +D.

3. 微分方程式 y´´tgy = 2y´2 を考えてみましょう。 y´ = v に置き換えて、y´´ = v´´tg(x) + (v´)2sec2(x) とします。これを元の方程式に代入すると、v´´tg(x) + (v´)2sec2(x) = 2v2 となります。方程式を単純化するために、置換 u = v2 を使用し、次に u´ = 2vv´ とします。これを元の方程式に代入すると、u´/2 = utg(x) + usec2(x) が得られます。これは、u´/2u = Tan(x) + sec2(x) と同等です。変数分離法を使用してこの方程式を解いてみましょう: ln|u|/2 = ln|sin(x)| - ln|cos(x)| + C1。C1 は任意の定数です。したがって、u = C sin(x)/cos2(x) となります。ここで、C は任意の定数です。元の変数に戻ると、v = ±√(C sin(x)/cos2(x))、y = ∫v dx = ±∫√(C sin(x)/cos2(x)) dx となります。積分するには、代入 t = cos(x) を使用し、次に y = ±∫√(C/t) dt = ±2√Ct + C1 (C1 は任意の定数) を使用します。全体として、微分方程式の一般解は、y = ±2√Ccos(x) + C1 の形式になります。

4. 方程式 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0 を考えてみましょう。解決するには、置換 y = xz を使用し、次に y´ = z + xz´ を使用します。これを元の方程式に代入すると、(x/√x^2 - x^2z^2 - 1)dx - (xz + x^2z´)/√(x^2 - x^2z^2) dz = となります。 0. 最初の項から x を取り出し、2 番目の項の分数を組み合わせると、(1/√(1 - z^2))dz = (1/x)(√(x^2 - x^2z^) が得られます。 2))dx。変数分離法を使用してこの方程式を解いてみましょう: ∫(1/√(1 - z^2))dz = ∫(1/x)(√(x^2 - x^2z^2))dx, arcsin( z) = ln |x| + C1。C1 は任意の定数です。したがって、z = sin(ln|x| + C1)、y = xz = xsin(ln|x| + C1) となります。全体として、方程式の解は曲線 y = x*sin(ln|x| + C1) になります。

5. 任意の点の接線の角度係数がこの点の縦座標を 5 倍したものに等しい場合、点 A(-2, 1) を通過する曲線の方程式を書いてみましょう。接線の傾きは、特定の点における関数の導関数に等しくなります。 y = f(x) を目的の曲線の方程式とします。この場合、斜面上の条件は f´(x) = 5f(x) と書くことができます。変数分離法を使用してこの方程式を解いてみましょう: f´(x)/f(x) = 5 dx, ln|f(x)| = 5x + C1、ここで C1 は任意の定数です。点 A(-2, 1) の座標を代入すると、C1 = ln|1/2| がわかります。したがって、目的の曲線の方程式は y = f(x) = Ce^(5x) の形式になります (C = 1/2)。全体として、点 A(-2, 1) を通過し、与えられた条件を満たす曲線の方程式は、y = (1/2)e^(5x) の形式になります。

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IDZ 11.2 – オプション 5. ソリューション Ryabushko A.P.は、数学的解析の問題に対する解決策を集めたものです。このバージョンには、微分方程式と平面上の曲線の問題が含まれています。

1. 最初の問題では、微分方程式の特定の解を見つけて、x=x0 における関数 y=φ(x) の値を小数点以下 2 桁まで正確に計算する必要があります。方程式の形式は次のとおりです: 1.5 y´´= 4cos2x、x0 = π/4、y(0) = 1、y´(0) = 3。この問題の解決策はコレクションに表示され、数式エディターを使用して設計されています。マイクロソフトワード2003。

2. 2 番目の問題では、次数で還元できる微分方程式の一般解を見つける必要があります。方程式は次のようになります: 2.5 y´´xlnx = y´。このバージョンでは、この問題に対する解決策はありません。

3. 3 番目の問題では、順序で還元できる微分方程式のコーシー問題を解く必要があります。方程式の形式は 3.5 y´´tgy = 2y´2、y(1) = π/2、y´(1) = 2 です。この問題の解決策はコレクションに示されており、Microsoft の数式エディターを使用して設計されています。ワード2003。

4. 4 番目の問題では、次の方程式を積分する必要があります: 4.5 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0。このバージョンでは、この問題に対する解決策はありません。

5. 5 番目の問題では、任意の点での接線の傾きがこの点の縦軸に を加えた値に等しいことがわかっている場合、点 A(x0, y0) を通過する曲線の方程式を書く必要があります。 k回。点 A の座標は A(−2, 1)、k = 5 です。この問題の解決策はこのバージョンでは利用できません。

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