IDZ 11.2 – 옵션 5. 솔루션 Ryabushko A.P.

1. 먼저, 미분 방정식 y''= 4cos2x에 대한 특정 해를 찾아보겠습니다. 두 번 적분하면 y = -cos2x + Ax + B를 얻습니다. 여기서 A와 B는 임의의 상수입니다. 다음으로, 초기 조건 y(0) = 1 및 y'(0) = 3을 대체하여 상수 A 및 B의 값을 찾습니다. A = (3+cos0.5π)/0.5π ≒ 6.45 및 B = 1 + cos0.5π - 6.45*0.5π ≒ 0.22. 따라서 부분 솔루션의 형식은 y = -cos2x + 6.45x + 0.22입니다. 값 x = π/4를 대체하면 y(π/4) ≒ 4.12를 얻습니다.

2. 미분 방정식 y''xlnx = y'를 생각해 보세요. y' = v로 치환한 다음 y'' = v' + v/x로 바꾸겠습니다. 이것을 원래 방정식에 대입하면 v' + v/x = v가 되며 이는 v' = -v/x와 동일합니다. 변수 분리 방법을 사용하여 이 방정식을 풀어 보겠습니다. v'/v = -1/x dx, ln|v| = -ln|x| + C1, 여기서 C1은 임의의 상수입니다. 따라서 v = C/x이며, 여기서 C는 임의의 상수입니다. 원래 변수로 돌아가면 y' = C/x, y = C ln|x| + D, 여기서 D는 임의의 상수입니다. 전체적으로 미분 방정식의 일반 해는 y = C ln|x| + 디.

3. 미분방정식 y''tgy = 2y'2를 생각해 보세요. y' = v로 치환하면 y'' = v''tg(x) + (v')2sec2(x)가 됩니다. 이것을 원래 방정식에 대입하면 v''tg(x) + (v')2sec2(x) = 2v2가 됩니다. 방정식을 단순화하기 위해 u = v2, u' = 2vv' 치환을 사용합니다. 이를 원래 방정식에 대입하면 u'/2 = utg(x) + usec2(x)가 되며 이는 u'/2u = tan(x) + sec2(x)와 동일합니다. 변수 분리 방법을 사용하여 이 방정식을 풀어보겠습니다. ln|u|/2 = ln|sin(x)| - ln|cos(x)| + C1, 여기서 C1은 임의의 상수입니다. 따라서 u = C sin(x)/cos2(x)이며, 여기서 C는 임의의 상수입니다. 원래 변수로 돌아가서 v = ±√(C sin(x)/cos2(x)), y = ∫v dx = ±∫√(C sin(x)/cos2(x)) dx를 얻습니다. 적분을 위해 치환 t = cos(x), y = ±∫√(C/t) dt = ±2√Ct + C1을 사용합니다. 여기서 C1은 임의의 상수입니다. 전체적으로 미분 방정식의 일반 해는 y = ±2√Ccos(x) + C1 형식을 갖습니다.

4. 방정식 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0을 생각해 보세요. 이를 해결하기 위해 대체 y = xz를 사용한 다음 y' = z + xz'를 사용합니다. 이것을 원래 방정식에 대입하면 (x/√x^2 - x^2z^2 - 1)dx - (xz + x^2z')/√(x^2 - x^2z^2) dz = 0. 첫 번째 항에서 x를 꺼내고 두 번째 항의 분수를 결합하면 (1/√(1 - z^2))dz = (1/x)(√(x^2 - x^2z^ 2))dx. 변수 분리 방법을 사용하여 이 방정식을 풀어보겠습니다. ∫(1/√(1 - z^2))dz = ∫(1/x)(√(x^2 - x^2z^2))dx, arcsin( z) = ln |x| + C1, 여기서 C1은 임의의 상수입니다. 따라서 z = sin(ln|x| + C1), y = xz = xsin(ln|x| + C1)입니다. 전체적으로 방정식의 해는 곡선 y = x*sin(ln|x| + C1)입니다.

5. 임의의 점에서 접선의 각도 계수가 이 점의 세로 좌표와 같고 5배 증가한 경우 점 A(-2, 1)를 통과하는 곡선의 방정식을 작성해 보겠습니다. 접선의 기울기는 주어진 지점에서 함수의 미분과 같습니다. y = f(x)를 원하는 곡선의 방정식으로 설정합니다. 그러면 경사면의 조건은 f'(x) = 5f(x)로 쓸 수 있습니다. 변수 분리 방법을 사용하여 이 방정식을 풀어 보겠습니다. f'(x)/f(x) = 5 dx, ln|f(x)| = 5x + C1, 여기서 C1은 임의의 상수입니다. 점 A(-2, 1)의 좌표를 대체하면 C1 = ln|1/2|입니다. 따라서 원하는 곡선의 방정식은 y = f(x) = Ce^(5x) 형식을 갖습니다. 여기서 C = 1/2입니다. 전체적으로, 점 A(-2, 1)을 통과하고 주어진 조건을 만족하는 곡선의 방정식은 y = (1/2)e^(5x)의 형태를 갖습니다.

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IDZ 11.2 – 옵션 5. 솔루션 Ryabushko A.P.

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IDZ 11.2 – 옵션 5. 솔루션 Ryabushko A.P. 수학적 분석 문제에 대한 솔루션 모음입니다. 이 버전에는 평면의 미분 방정식과 곡선에 대한 문제가 포함되어 있습니다.

1. 첫 번째 문제에서는 미분 방정식에 대한 특정 해를 찾고 x=x0에서 함수 y=ψ(x)의 값을 소수점 이하 두 자리까지 정확하게 계산해야 합니다. 방정식의 형식은 1.5 y''= 4cos2x, x0 = π/4, y(0) = 1, y'(0) = 3입니다. 이 문제에 대한 해결책은 컬렉션에 제시되어 있으며 공식 편집기를 사용하여 설계되었습니다. 마이크로소프트 워드 2003.

2. 두 번째 문제는 순서대로 축소할 수 있는 미분 방정식의 일반적인 해를 찾는 것입니다. 방정식은 다음과 같습니다: 2.5 y''xlnx = y'. 이 버전에는 이 문제에 대한 해결책이 없습니다.

3. 세 번째 문제는 순서대로 축소할 수 있는 미분 방정식에 대한 코시 문제를 풀어야 합니다. 방정식의 형식은 3.5 y''tgy = 2y'2, y(1) = π/2, y'(1) = 2입니다. 이 문제에 대한 해결책은 컬렉션에 제시되어 있으며 수식 편집기를 사용하여 설계되었습니다. Microsoft 워드 2003.

4. 네 번째 문제는 다음 방정식을 적분해야 합니다: 4.5 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. 이 버전에는 이 문제에 대한 해결책이 없습니다.

5. 다섯 번째 문제에서는 임의의 점에서 접선의 기울기가 이 점의 세로 좌표와 같다고 알려진 경우 점 A(x0, y0)를 통과하는 곡선의 방정식을 작성해야 합니다. k번. 점 A에는 좌표 A(−2, 1), k = 5가 있습니다. 이 버전에서는 이 문제에 대한 솔루션을 사용할 수 없습니다.

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