IDZ 11.2 – 选项 5。解决方案 Ryabushko A.P.

1. 首先，让我们找到微分方程 y´´= 4cos2x 的特解。积分两次，我们得到 y = -cos2x + Ax + B，其中 A 和 B 是任意常数。接下来，代入初始条件 y(0) = 1 和 y´(0) = 3，我们求出常数 A 和 B 的值： A = (3+cos0.5π)/0.5π ≈ 6.45 和 B = 1 + cos0.5π - 6.45*0.5π ≈ 0.22。因此，部分解的形式为 y = -cos2x + 6.45x + 0.22。代入值 x = π/4，我们得到 y(π/4) ≈ 4.12。

2. 考虑微分方程 y´´xlnx = y´。让我们进行替换 y´ = v，然后 y´´ = v´ + v/x。将其代入原方程，我们得到 v´ + v/x = v，相当于 v´ = -v/x。让我们使用变量分离的方法来求解这个方程：v´/v = -1/x dx, ln|v| =-ln|x| + C1，其中 C1 是任意常数。因此，v = C/x，其中 C 是任意常数。回到原始变量，我们得到 y´ = C/x, y = C ln|x| + D，其中 D 是任意常数。总的来说，微分方程的通解具有以下形式 y = C ln|x| + D。

3. 考虑微分方程 y´´tgy = 2y´2。让我们进行替换 y´ = v，然后 y´´ = v´´tg(x) + (v´)2sec2(x)。将其代入原始方程，我们得到 v´´tg(x) + (v´)2sec2(x) = 2v2。为了简化方程，我们使用替换 u = v2，然后 u´ = 2vv´。将其代入原方程，得到 u´/2 = utg(x) + usec2(x)，相当于 u´/2u = tan(x) + sec2(x)。让我们使用变量分离的方法来求解这个方程：ln|u|/2 = ln|sin(x)| - ln|cos(x)| + C1，其中 C1 是任意常数。因此，u = C sin(x)/cos2(x)，其中 C 是任意常数。回到原始变量，我们得到 v = ±√(C sin(x)/cos2(x)), y = ∫v dx = ±∫√(C sin(x)/cos2(x)) dx。为了积分，我们使用替换 t = cos(x)，然后 y = ±∫√(C/t) dt = ±2√Ct + C1，其中 C1 是任意常数。总的来说，微分方程的通解具有形式 y = ±2√Ccos(x) + C1。

4. 考虑方程 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0。为了解决这个问题，我们使用替换 y = xz，然后 y´ = z + xz´。将其代入原方程，我们得到 (x/√x^2 - x^2z^2 - 1)dx - (xz + x^2z´)/√(x^2 - x^2z^2) dz = 0. 从第一项中取出 x 并结合第二项的分数，我们得到 (1/√(1 - z^2))dz = (1/x)(√(x^2 - x^2z^) 2））dx。让我们使用变量分离法求解该方程： ∫(1/√(1 - z^2))dz = ∫(1/x)(√(x^2 - x^2z^2))dx, arcsin( z) = ln |x| + C1，其中 C1 是任意常数。因此，z = sin(ln|x| + C1)，y = xz = xsin(ln|x| + C1)。总的来说，方程的解是曲线 y = x*sin(ln|x| + C1)。

5. 让我们写出通过点 A(-2, 1) 的曲线方程，如果任意点的切线的角度系数等于该点的纵坐标增加 5 倍。切线的斜率等于函数在给定点的导数。设 y = f(x) 为所需曲线的方程。那么斜率上的条件可以写为 f´(x) = 5f(x)。让我们使用变量分离的方法来求解这个方程：f´(x)/f(x) = 5 dx, ln|f(x)| = 5x + C1，其中 C1 是任意常数。代入点A(-2, 1)的坐标，可得C1 = ln|1/2|。因此，所需曲线的方程的形式为 y = f(x) = Ce^(5x)，其中 C = 1/2。总而言之，通过点 A(-2, 1) 并满足给定条件的曲线方程的形式为 y = (1/2)e^(5x)。

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IDZ 11.2 – 选项 5。解决方案 Ryabushko A.P.是数学分析中问题的解决方案的集合。该版本包含微分方程和平面曲线的问题。

1. 在第一个问题中，您需要找到微分方程的特定解，并计算函数 y=φ(x) 在 x=x0 处的值，精确到小数点后两位。方程的形式为：1.5 y´´= 4cos2x, x0 = π/4, y(0) = 1, y´(0) = 3。该问题的解决方案在集合中提供，并使用公式编辑器设计微软Word 2003。

2. 第二个问题需要找到一个可以降阶的微分方程的通解。方程如下：2.5 y´´xlnx = y´。此版本中没有解决此问题的方法。

3. 第三个问题需要求解可降阶微分方程的柯西问题。该方程的形式为：3.5 y´´tgy = 2y´2, y(1) = π/2, y´(1) = 2。该问题的解决方案在集合中提供，并使用 Microsoft 公式编辑器设计字2003。

4. 第四个问题需要对这个方程进行积分：4.5 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0。此版本中没有解决此问题的方法。

5. 在第五题中，要求写出经过点A(x0,y0)的曲线方程，如果已知任意点的切线斜率等于该点的纵坐标增加k 次。点 A 的坐标为 A(−2, 1)，k = 5。此版本中没有此问题的解决方案。

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