IDZ 11.2 – Επιλογή 5. Λύσεις Ryabushko A.P.

1. Αρχικά, ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση y´´= 4cos2x. Ολοκληρώνοντας δύο φορές, παίρνουμε y = -cos2x + Ax + B, όπου τα Α και Β είναι αυθαίρετες σταθερές. Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες y(0) = 1 και y´(0) = 3, βρίσκουμε τις τιμές των σταθερών A και B: A = (3+cos0,5π)/0,5π ≈ 6,45 και B = 1 + cos0,5π - 6,45*0,5π ≈ 0,22. Έτσι, η μερική λύση έχει τη μορφή y = -cos2x + 6,45x + 0,22. Αντικαθιστώντας την τιμή x = π/4, παίρνουμε y(π/4) ≈ 4,12.

2. Θεωρήστε τη διαφορική εξίσωση y´´xlnx = y´. Ας κάνουμε την αντικατάσταση y´ = v, μετά y´´ = v´ + v/x. Αντικαθιστώντας αυτό στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε v´ + v/x = v, που είναι ισοδύναμο με v´ = -v/x. Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαχωρισμού των μεταβλητών: v´/v = -1/x dx, ln|v| = -ln|x| + C1, όπου το C1 είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Έτσι, v = C/x, όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Επιστρέφοντας στις αρχικές μεταβλητές, λαμβάνουμε y´ = C/x, y = C ln|x| + D, όπου D είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Συνολικά, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή y = C ln|x| + Δ.

3. Θεωρήστε τη διαφορική εξίσωση y´´tgy = 2y´2. Ας κάνουμε την αντικατάσταση y´ = v, μετά y´´ = v´´tg(x) + (v´)2sec2(x). Αντικαθιστώντας αυτό στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε v´´tg(x) + (v´)2sec2(x) = 2v2. Για να απλοποιήσουμε την εξίσωση, χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση u = v2, μετά u´ = 2vv´. Αντικαθιστώντας αυτό στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε u´/2 = utg(x) + usec2(x), που είναι ισοδύναμο με u´/2u = tan(x) + sec2(x). Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαχωρισμού των μεταβλητών: ln|u|/2 = ln|sin(x)| - ln|cos(x)| + C1, όπου το C1 είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Έτσι, u = C sin(x)/cos2(x), όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Επιστρέφοντας στις αρχικές μεταβλητές, λαμβάνουμε v = ±√(C sin(x)/cos2(x)), y = ∫v dx = ±∫√(C sin(x)/cos2(x)) dx. Για την ολοκλήρωση, χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση t = cos(x), μετά y = ±∫√(C/t) dt = ±2√Ct + C1, όπου το C1 είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Συνολικά, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή y = ±2√Ccos(x) + C1.

4. Θεωρήστε την εξίσωση (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. Για να λύσουμε, χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση y = xz, μετά y´ = z + xz´. Αντικαθιστώντας αυτό στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε (x/√x^2 - x^2z^2 - 1)dx - (xz + x^2z´)/√(x^2 - x^2z^2) dz = 0. Βγάζοντας x από τον πρώτο όρο και συνδυάζοντας τα κλάσματα του δεύτερου όρου, παίρνουμε (1/√(1 - z^2))dz = (1/x)(√(x^2 - x^2z^ 2))δχ. Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαχωρισμού μεταβλητών: ∫(1/√(1 - z^2))dz = ∫(1/x)(√(x^2 - x^2z^2))dx, arcsin( z) = ln |x| + C1, όπου το C1 είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Έτσι, z = sin(ln|x| + C1), y = xz = xsin(ln|x| + C1). Συνολικά, η λύση της εξίσωσης είναι η καμπύλη y = x*sin(ln|x| + C1).

5. Ας γράψουμε την εξίσωση μιας καμπύλης που διέρχεται από το σημείο Α(-2, 1), αν ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης σε οποιοδήποτε σημείο είναι ίσος με την τεταγμένη αυτού του σημείου, αυξημένος κατά 5 φορές. Η κλίση της εφαπτομένης είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Έστω y = f(x) η εξίσωση της επιθυμητής καμπύλης. Τότε η συνθήκη στην κλίση μπορεί να γραφτεί ως f´(x) = 5f(x). Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαχωρισμού των μεταβλητών: f´(x)/f(x) = 5 dx, ln|f(x)| = 5x + C1, όπου το C1 είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου A(-2, 1), βρίσκουμε C1 = ln|1/2|. Έτσι, η εξίσωση της επιθυμητής καμπύλης έχει τη μορφή y = f(x) = Ce^(5x), όπου C = 1/2. Συνολικά, η εξίσωση της καμπύλης που διέρχεται από το σημείο A(-2, 1) και ικανοποιεί τη δεδομένη συνθήκη έχει τη μορφή y = (1/2)e^(5x).

Αυτό το προϊόν είναι ένα ψηφιακό προϊόν που παρουσιάζεται σε ψηφιακό κατάστημα με όμορφο σχεδιασμό HTML. Συγκεκριμένα, πρόκειται για λύσεις σε προβλήματα στην επιλογή 5 της Ατομικής Εργασίας Νο. 11.2 στη μαθηματική ανάλυση, που αναπτύχθηκε από τον συγγραφέα Ryabushko A.P.

Αυτό το προϊόν μπορεί να είναι χρήσιμο σε μαθητές που μελετούν μαθηματική ανάλυση, καθώς και σε δασκάλους που χρησιμοποιούν αυτό το εκπαιδευτικό υλικό. Οι λύσεις σε εργασίες παρουσιάζονται με τη μορφή ενός όμορφα σχεδιασμένου εγγράφου HTML, το οποίο σας επιτρέπει να εξοικειωθείτε εύκολα και γρήγορα με το περιεχόμενο και να μεταβείτε στην επιθυμητή ενότητα.

Με την αγορά αυτού του προϊόντος, αποκτάτε πρόσβαση σε υψηλής ποιότητας και δοκιμασμένες λύσεις εργασιών που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε καλύτερα την ύλη και να προετοιμαστείτε για τις εξετάσεις. Επιπλέον, ο όμορφος σχεδιασμός του εγγράφου HTML το καθιστά ελκυστικό και εύκολο στη χρήση, γεγονός που διευκολύνει περαιτέρω τη διαδικασία εκμάθησης.

IDZ 11.2 – Επιλογή 5. Λύσεις Ryabushko A.P.

Αυτό το προϊόν είναι ένα ψηφιακό προϊόν σε μορφή HTML, το οποίο περιέχει λύσεις σε εργασίες της επιλογής 5 της Ατομικής Εργασίας Νο. 11.2 για τη μαθηματική ανάλυση, που αναπτύχθηκε από τον συγγραφέα Ryabushko A.P.

Το προϊόν προορίζεται για μαθητές που σπουδάζουν μαθηματική ανάλυση, καθώς και για καθηγητές που χρησιμοποιούν αυτό το εκπαιδευτικό υλικό.

Οι λύσεις σε εργασίες παρουσιάζονται σε ένα όμορφα σχεδιασμένο έγγραφο HTML, το οποίο σας επιτρέπει να εξοικειωθείτε εύκολα και γρήγορα με το περιεχόμενο και να μεταβείτε στην επιθυμητή ενότητα.

Αγοράζοντας αυτό το προϊόν, αποκτάτε ένα ποιοτικό προϊόν που θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα τους λογισμούς και να ολοκληρώσετε με επιτυχία τις εργασίες.

***

IDZ 11.2 – Επιλογή 5. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι μια συλλογή λύσεων σε προβλήματα στη μαθηματική ανάλυση. Αυτή η έκδοση περιέχει προβλήματα σε διαφορικές εξισώσεις και καμπύλες στο επίπεδο.

1. Στο πρώτο πρόβλημα, πρέπει να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση και να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης y=φ(x) στο x=x0 με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων. Η εξίσωση έχει τη μορφή: 1,5 y´´= 4cos2x, x0 = π/4, y(0) = 1, y´(0) = 3. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα παρουσιάζεται στη συλλογή και σχεδιάζεται χρησιμοποιώντας τον επεξεργαστή τύπων Microsoft Word 2003.

2. Το δεύτερο πρόβλημα απαιτεί την εύρεση μιας γενικής λύσης σε μια διαφορική εξίσωση που μπορεί να μειωθεί κατά σειρά. Η εξίσωση μοιάζει με: 2,5 y´´xlnx = y´. Δεν υπάρχει λύση σε αυτό το πρόβλημα σε αυτήν την έκδοση.

3. Το τρίτο πρόβλημα απαιτεί την επίλυση του προβλήματος Cauchy για μια διαφορική εξίσωση που μπορεί να μειωθεί κατά σειρά. Η εξίσωση έχει τη μορφή: 3,5 y´´tgy = 2y´2, y(1) = π/2, y´(1) = 2. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα παρουσιάζεται στη συλλογή και σχεδιάζεται χρησιμοποιώντας τον επεξεργαστή τύπων Microsoft Word 2003.

4. Το τέταρτο πρόβλημα απαιτεί την ολοκλήρωση αυτής της εξίσωσης: 4,5 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. Δεν υπάρχει λύση σε αυτό το πρόβλημα σε αυτήν την έκδοση.

5. Στο πέμπτο πρόβλημα, απαιτείται να γραφεί η εξίσωση μιας καμπύλης που διέρχεται από το σημείο A(x0, y0), αν είναι γνωστό ότι η κλίση της εφαπτομένης σε οποιοδήποτε σημείο είναι ίση με την τεταγμένη αυτού του σημείου, αυξημένη κατά k φορές. Το σημείο Α έχει συντεταγμένες A(−2, 1), k = 5. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα δεν είναι διαθέσιμη σε αυτήν την έκδοση.

***

1. Οι λύσεις του IPD 11.2 – Επιλογή 5 είναι καλά δομημένες και ευανάγνωστες.
2. Αυτό το ψηφιακό προϊόν σάς βοηθά να προετοιμαστείτε για τις εξετάσεις γρήγορα και αποτελεσματικά.
3. Οι λύσεις σε προβλήματα στο IDZ 11.2 – Επιλογή 5 βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση του υλικού.
4. Με την αγορά αυτού του ψηφιακού προϊόντος, έχετε πρόσβαση σε χρήσιμες πληροφορίες και δείγματα λύσεων.
5. Οι λύσεις του IDZ 11.2 – Επιλογή 5 θα βοηθήσουν στη βελτίωση της απόδοσής σας στο σχολείο ή στο πανεπιστήμιο.
6. Χάρη σε αυτό το ψηφιακό προϊόν, μπορείτε εύκολα και γρήγορα να προετοιμαστείτε για τη δοκιμή.
7. IDZ 11.2 – Η επιλογή 5 είναι μια εξαιρετική πηγή για ανεξάρτητη εργασία και επανάληψη υλικού.
8. Αποφάσεις Ryabushko A.P. στο IDZ 11.2 – Η επιλογή 5 είναι ακριβείς και λογικές.
9. Αυτό το ψηφιακό προϊόν σάς βοηθά να εξοικονομήσετε χρόνο προετοιμασίας για μαθήματα και εξετάσεις.
10. Το IDZ 11.2 - Option 5 είναι ένας αξιόπιστος και χρήσιμος πόρος για όποιον αγωνίζεται για καλύτερα ακαδημαϊκά αποτελέσματα.

Ιδιαιτερότητες:

Οι λύσεις IPD 11.2 Επιλογή 5 είναι καλά δομημένες και ευανάγνωστες.

Ευχαριστώ πολύ τον συγγραφέα Ryabushko A.P. για λύσεις IPD υψηλής ποιότητας 11.2 Επιλογή 5.

Η μελέτη IPD Solutions 11.2 Option 5 σάς βοηθά να κατανοήσετε καλύτερα την ύλη και να προετοιμαστείτε για την εξέταση.

Οι λύσεις της IPD 11.2 Επιλογή 5 περιέχουν λεπτομερείς και κατανοητές εξηγήσεις για κάθε εργασία.

Το IDZ 11.2 Η επιλογή 5 είναι εξαιρετική για αυτοπροετοιμασία για μαθήματα και δοκιμές.

IPD 11.2 Λύσεις Η επιλογή 5 με βοήθησε να βελτιώσω τις γνώσεις και τις δεξιότητές μου στο υπό μελέτη θέμα.

Ένα εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν που προτείνω σε όποιον μελετά αυτό το θέμα.