Hidrogênio pesando m = 40 g, com temperatura T = 300 K

Existe um hidrogênio com massa de m=40 g, que estava a uma temperatura de T=300 K. O gás se expandiu adiabaticamente, aumentando o volume em n1=3 vezes. Em seguida, o gás foi comprimido isotermicamente até atingir o volume, reduzindo-o em n2=2 vezes. É necessário determinar o trabalho total A realizado pelo gás e sua temperatura final T.

Responder:

Primeiro, vamos encontrar a pressão inicial do gás. Para fazer isso, usamos a equação de estado de um gás ideal:

pV = nRT,

onde p é a pressão do gás, V é o seu volume, n é a quantidade de substância gasosa, R é a constante universal do gás, T é a temperatura do gás.

A quantidade de substância em um gás pode ser encontrada dividindo a massa pela massa molar:

n =m/M,

onde M é a massa molar do gás. Para hidrogênio M = 2 g/mol.

Então a pressão inicial do gás é:

p1 = (m/M)RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K / (1 l) = 4,99 * 10^5 Pa.

A seguir, encontraremos o trabalho realizado pelo gás durante a expansão adiabática. Como o processo é adiabático, então Q = 0, e a primeira lei da termodinâmica assume a forma:

dU = -pdV,

onde dU é a mudança na energia interna do gás, p e V são a pressão e o volume do gás, respectivamente.

Como o processo é adiabático, dU = Cv*dT, onde Cv é a capacidade calorífica do gás a volume constante.

Então:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

integrando esta expressão desde a temperatura e volume iniciais até os valores finais, obtemos:

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

onde T2 é a temperatura final do gás, V2 é o seu volume após expansão adiabática.

A capacidade calorífica de um gás a volume constante pode ser encontrada a partir da relação:

Cp - Cv = R,

onde Cp é a capacidade calorífica do gás a pressão constante. Para um gás ideal Cp = Cv + R.

Então:

Cv = Cp - R = 7/2 R.

Após a expansão adiabática, o volume do gás tornou-se n1 = 3 vezes maior que o inicial, depois o volume final:

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

Então, substituindo todos os valores conhecidos na fórmula ln(T2/T1), encontramos a temperatura final do gás:

T2 = T1 * (V1/V2)^((7/2)R) = 300 К * (1/3)^((7/2)*8,31/1000) = 219,6 К.

A seguir, encontraremos o trabalho realizado por um gás sob compressão isotérmica. Como o processo é isotérmico, então T = const, e a primeira lei da termodinâmica assume a forma:

dU = -pdV + Q = -pdV,

onde Q é o calor recebido ou emitido pelo gás.

Integrando esta expressão do volume final ao volume inicial, obtemos:

W = -∫p2 ^ 1 VdV,

onde p2 é a pressão final do gás após a compressão.

Usando a equação de estado de um gás ideal e a condição de processo isotérmico, encontramos a pressão final do gás:

p2 = p1 * (V1/V2) = p1 * (n1/n2),

onde n2 é a quantidade final de substância gasosa após a compressão.

Então o trabalho do gás sob compressão isotérmica:

W = -∫p2^1 V dV = -∫(p1 * (n1/n2))^p1 (n2/n1 * V1)^2/3 d((n2/n1 * V1)^2/3) = - p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

onde usamos a relação entre V e n para um gás ideal em um processo isotérmico: nV = const.

Então o trabalho total realizado pelo gás é:

A = W1 + W2 = -p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

onde W1 é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão adiabática, W2 é o trabalho realizado pelo gás durante a compressão isotérmica.

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

A = -4,99 * 10 ^ 5 Pa * 1 l * (3/2) * [(2/3) ^ 2/3 - 1] = 5,02 * 10 ^ 4 J.

E claro, a temperatura final do gás depois de passar por ambos os processos é T2 = 219,6 K.

Assim, encontramos o trabalho total realizado pelo gás e sua temperatura final após expansão adiabática e compressão isotérmica.

Descrição do produto:

A loja de produtos digitais apresenta um produto digital - material de cálculo para um problema sobre o tema termodinâmica.

Este material examina o processo de expansão adiabática e compressão isotérmica do hidrogênio com massa m = 40 g, que tinha temperatura inicial de T = 300 K.

O material de cálculo contém uma descrição detalhada das condições do problema, as fórmulas e leis utilizadas, a derivação da fórmula de cálculo e as respostas às questões colocadas no problema.

Descrição do produto: A loja de produtos digitais fornece material de cálculo para um problema sobre termodinâmica. Este material examina o processo de expansão adiabática e compressão isotérmica do hidrogênio com massa m = 40 g, que tinha temperatura inicial de T = 300 K. O material de cálculo contém uma descrição detalhada das condições do problema, as fórmulas e leis utilizadas, a derivação da fórmula de cálculo e as respostas às questões colocadas no problema.

Tarefa: O hidrogênio com massa m = 40 g, que tinha temperatura T = 300 K, expandiu-se adiabaticamente, aumentando seu volume em n1 = 3 vezes. Então, durante a compressão isotérmica, o volume do gás diminuiu n2=2 vezes. Determine o trabalho total A realizado pelo gás e a temperatura final T do gás. Problema 20046.

Solução: Primeiro, vamos encontrar a pressão inicial do gás. Para fazer isso, usamos a equação de estado de um gás ideal:

pV = nRT,

onde p é a pressão do gás, V é o seu volume, n é a quantidade de substância gasosa, R é a constante universal do gás, T é a temperatura do gás.

A quantidade de substância em um gás pode ser encontrada dividindo a massa pela massa molar:

n =m/M,

onde M é a massa molar do gás. Para hidrogênio M = 2 g/mol.

Então a pressão inicial do gás é:

p1 = (m/M)RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K / (1 l) = 4,99 * 10^5 Pa.

A seguir, encontraremos o trabalho realizado pelo gás durante a expansão adiabática. Como o processo é adiabático, então Q = 0, e a primeira lei da termodinâmica assume a forma:

dU = -pdV,

onde dU é a mudança na energia interna do gás, p e V são a pressão e o volume do gás, respectivamente.

Como o processo é adiabático, dU = Cv*dT, onde Cv é a capacidade calorífica do gás a volume constante.

Então:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

integrando esta expressão desde a temperatura e volume iniciais até os valores finais, obtemos:

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

onde T2 é a temperatura final do gás, V2 é o seu volume após expansão adiabática.

A capacidade calorífica de um gás a volume constante pode ser encontrada a partir da relação:

Cp - Cv = R,

onde Cp é a capacidade calorífica do gás a pressão constante. Para um gás ideal Cp = Cv + R.

Então:

Cv = Cp - R = 7/2 R.

Após a expansão adiabática, o volume do gás tornou-se n1 = 3 vezes maior que o inicial, depois o volume final:

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

Então, substituindo todos os valores conhecidos na fórmula ln(T2/T1), encontramos a temperatura final do gás:

ln(T2/T1) = -ln(3) * (7/2) = -2.303 * (7/2) = -8.058,

T2/T1 = e^(-8.058) = 0,000329,

T2 = T1 * 0,000329 = 300 K * 0,000329 = 0,0987 K.

Agora vamos encontrar o trabalho realizado por um gás sob compressão isotérmica. Como o processo é isotérmico, então T = const, e a primeira lei da termodinâmica assume a forma:

dU = Q - pdV,

onde Q é o calor transferido para o gás, dU é a mudança na energia interna do gás.

Como o processo é isotérmico, T = const, portanto, Q = W, ou seja, o trabalho realizado pelo gás é igual ao calor transferido ao gás.

Então:

W = Q = nRT * ln(V1/V2),

onde V1 e V2 são os volumes inicial e final do gás, respectivamente.

Após a expansão adiabática, o volume do gás tornou-se n1 = 3 vezes maior que o inicial, e então, durante a compressão isotérmica, o volume do gás diminuiu n2 = 2 vezes. Então o volume final do gás é:

V2 = V1 * (1/n2) = V1/2.

Então o gás funciona:

W = nRT * ln(V1/(V1/2)) = nRT * ln(2) = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K * ln( 2) = -4986,54J.

Respostas às questões colocadas no problema:

O trabalho total realizado por um gás durante a expansão adiabática e a compressão isotérmica é W = -4.986,54 J.

A temperatura final do gás após expansão adiabática e compressão isotérmica é T2 = 0,0987 K.

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Descrição do produto:

Este produto é uma amostra de hidrogênio pesando m=40 g, que tinha temperatura T=300 K. Em seguida, o gás foi expandido adiabaticamente, aumentando o volume em n1=3 vezes. Ocorreu então a compressão isotérmica do gás, como resultado da diminuição do volume em n2=2 vezes.

Para determinar o trabalho total A realizado pelo gás e a temperatura final T do gás, você pode usar a equação de Mayer:

A = C_v * (T_2 - T_1) + C_p * (T_2 - T_1)

onde C_v e C_p são capacidades térmicas específicas a volume constante e pressão constante, respectivamente, T_1 e T_2 são as temperaturas inicial e final do gás.

Para o hidrogênio, as capacidades térmicas específicas podem ser calculadas usando as fórmulas:

C_v = (3/2) * R C_p = (5/2) *R

onde R é a constante universal dos gases.

Assim, o trabalho total A será igual a:

A = (3/2) * R * (T_2 - T_1) + (5/2) * R * (T_2 - T_1)

Para determinar a temperatura final do gás T, a seguinte relação pode ser usada:

T_2 = T_1 * (n1/n2)^((C_p - C_v)/C_p)

onde n1 e n2 são os coeficientes de mudança no volume de gás durante a expansão adiabática e compressão isotérmica, respectivamente.

Substituindo os dados da declaração do problema, obtemos:

T_2 = 300 * (3/2)^((5/2 - 3/2)/(5/2)) * (1/2) = 150 K

A = (3/2) * R * (150 - 300) + (5/2) * R * (150 - 300) = -600 R Дж

Assim, o trabalho total realizado pelo gás é -600 R J e a temperatura final do gás é 150 K.

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