IDZ 11.2 – Opzione 5. Soluzioni Ryabushko A.P.

1. Per prima cosa troviamo una soluzione particolare all'equazione differenziale y´´= 4cos2x. Integrando due volte, otteniamo y = -cos2x + Ax + B, dove A e B sono costanti arbitrarie. Successivamente, sostituendo le condizioni iniziali y(0) = 1 e y´(0) = 3, troviamo i valori delle costanti A e B: A = (3+cos0,5π)/0,5π ≈ 6,45 e B = 1 + cos0,5π - 6,45*0,5π ≈ 0,22. Pertanto la soluzione parziale ha la forma y = -cos2x + 6,45x + 0,22. Sostituendo il valore x = π/4, otteniamo y(π/4) ≈ 4,12.

2. Consideriamo l'equazione differenziale y´´xlnx = y´. Facciamo la sostituzione y´ = v, quindi y´´ = v´ + v/x. Sostituendo questo nell'equazione originale, otteniamo v´ + v/x = v, che equivale a v´ = -v/x. Risolviamo questa equazione utilizzando il metodo della separazione delle variabili: v´/v = -1/x dx, ln|v| = -ln|x| + C1, dove C1 è una costante arbitraria. Pertanto, v = C/x, dove C è una costante arbitraria. Ritornando alle variabili iniziali, otteniamo y´ = C/x, y = C ln|x| + D, dove D è una costante arbitraria. In totale, la soluzione generale dell'equazione differenziale ha la forma y = C ln|x| +D.

3. Consideriamo l'equazione differenziale y´´tgy = 2y´2. Facciamo la sostituzione y´ = v, quindi y´´ = v´´tg(x) + (v´)2sec2(x). Sostituendo questo nell'equazione originale, otteniamo v´´tg(x) + (v´)2sec2(x) = 2v2. Per semplificare l'equazione usiamo la sostituzione u = v2, quindi u´ = 2vv´. Sostituendo questo nell'equazione originale, otteniamo u´/2 = utg(x) + usec2(x), che è equivalente a u´/2u = tan(x) + sec2(x). Risolviamo questa equazione utilizzando il metodo della separazione delle variabili: ln|u|/2 = ln|sin(x)| - ln|cos(x)| + C1, dove C1 è una costante arbitraria. Pertanto, u = C sin(x)/cos2(x), dove C è una costante arbitraria. Ritornando alle variabili originali, otteniamo v = ±√(C sin(x)/cos2(x)), y = ∫v dx = ±∫√(C sin(x)/cos2(x)) dx. Per integrare, usiamo la sostituzione t = cos(x), quindi y = ±∫√(C/t) dt = ±2√Ct + C1, dove C1 è una costante arbitraria. In totale, la soluzione generale dell'equazione differenziale ha la forma y = ±2√Ccos(x) + C1.

4. Considera l'equazione (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. Per risolvere usiamo la sostituzione y = xz, quindi y´ = z + xz´. Sostituendo questo nell'equazione originale, otteniamo (x/√x^2 - x^2z^2 - 1)dx - (xz + x^2z´)/√(x^2 - x^2z^2) dz = 0. Togliendo x dal primo termine e combinando le frazioni del secondo termine, otteniamo (1/√(1 - z^2))dz = (1/x)(√(x^2 - x^2z^ 2))dx. Risolviamo questa equazione utilizzando il metodo della separazione delle variabili: ∫(1/√(1 - z^2))dz = ∫(1/x)(√(x^2 - x^2z^2))dx, arcsin( z) = ln |x| + C1, dove C1 è una costante arbitraria. Pertanto, z = sin(ln|x| + C1), y = xz = xsin(ln|x| + C1). In totale, la soluzione dell'equazione è la curva y = x*sin(ln|x| + C1).

5. Scriviamo l'equazione di una curva passante per il punto A(-2, 1), se il coefficiente angolare della tangente in qualsiasi punto è uguale all'ordinata di questo punto, aumentata di 5 volte. La pendenza della tangente è uguale alla derivata della funzione in un dato punto. Sia y = f(x) l'equazione della curva desiderata. Allora la condizione sulla pendenza può essere scritta come f´(x) = 5f(x). Risolviamo questa equazione utilizzando il metodo della separazione delle variabili: f´(x)/f(x) = 5 dx, ln|f(x)| = 5x + C1, dove C1 è una costante arbitraria. Sostituendo le coordinate del punto A(-2, 1), troviamo C1 = ln|1/2|. Pertanto, l'equazione della curva desiderata ha la forma y = f(x) = Ce^(5x), dove C = 1/2. In totale, l'equazione della curva che passa per il punto A(-2, 1) e che soddisfa la condizione data ha la forma y = (1/2)e^(5x).

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IDZ 11.2 – Opzione 5. Soluzioni Ryabushko A.P.

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IDZ 11.2 – Opzione 5. Soluzioni Ryabushko A.P. è una raccolta di soluzioni a problemi di analisi matematica. Questa versione contiene problemi su equazioni differenziali e curve sul piano.

1. Nel primo problema, devi trovare una soluzione particolare all'equazione differenziale e calcolare il valore della funzione y=φ(x) in x=x0 con precisione fino a due cifre decimali. L'equazione ha la forma: 1.5 y´´= 4cos2x, x0 = π/4, y(0) = 1, y´(0) = 3. La soluzione a questo problema è presentata nella raccolta e progettata utilizzando l'editor di formule Microsoft Word 2003.

2. Il secondo problema richiede di trovare una soluzione generale ad un'equazione differenziale che possa essere ridotta in ordine. L'equazione è simile a: 2,5 y´´xlnx = y´. Non esiste una soluzione a questo problema in questa versione.

3. Il terzo problema richiede la risoluzione del problema di Cauchy per un'equazione differenziale che può essere ridotta in ordine. L'equazione ha la forma: 3,5 y´´tgy = 2y´2, y(1) = π/2, y´(1) = 2. La soluzione a questo problema è presentata nella raccolta e progettata utilizzando l'editor di formule Microsoft Parola 2003.

4. Il quarto problema richiede l'integrazione di questa equazione: 4.5 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. Non esiste una soluzione a questo problema in questa versione.

5. Nel quinto problema, è necessario scrivere l'equazione di una curva passante per il punto A(x0, y0), se è noto che la pendenza della tangente in qualsiasi punto è uguale all'ordinata di questo punto, aumentata di k volte. Il punto A ha coordinate A(−2, 1), k = 5. La soluzione a questo problema non è disponibile in questa versione.

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