IDZ 11.2 – Option 5. Lösungen Ryabushko A.P.

1. Lassen Sie uns zunächst eine bestimmte Lösung für die Differentialgleichung y´´= 4cos2x finden. Durch zweimalige Integration erhalten wir y = -cos2x + Ax + B, wobei A und B beliebige Konstanten sind. Als nächstes ersetzen wir die Anfangsbedingungen y(0) = 1 und y´(0) = 3 und finden die Werte der Konstanten A und B: A = (3+cos0,5π)/0,5π ≈ 6,45 und B = 1 + cos0,5π - 6,45*0,5π ≈ 0,22. Somit hat die Teillösung die Form y = -cos2x + 6,45x + 0,22. Wenn wir den Wert x = π/4 einsetzen, erhalten wir y(π/4) ≈ 4,12.

2. Betrachten Sie die Differentialgleichung y´´xlnx = y´. Machen wir die Ersetzung y´ = v, dann ist y´´ = v´ + v/x. Wenn wir dies in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir v´ + v/x = v, was äquivalent zu v´ = -v/x ist. Lösen wir diese Gleichung mit der Methode der Variablentrennung: v´/v = -1/x dx, ln|v| = -ln|x| + C1, wobei C1 eine beliebige Konstante ist. Somit ist v = C/x, wobei C eine beliebige Konstante ist. Zurück zu den ursprünglichen Variablen erhalten wir y´ = C/x, y = C ln|x| + D, wobei D eine beliebige Konstante ist. Insgesamt hat die allgemeine Lösung der Differentialgleichung die Form y = C ln|x| + D.

3. Betrachten Sie die Differentialgleichung y´´tgy = 2y´2. Machen wir die Ersetzung y´ = v, dann ist y´´ = v´´tg(x) + (v´)2sec2(x). Wenn wir dies in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir v´´tg(x) + (v´)2sec2(x) = 2v2. Um die Gleichung zu vereinfachen, verwenden wir die Substitution u = v2, dann ist u´ = 2vv´. Wenn wir dies in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir u´/2 = utg(x) + usec2(x), was äquivalent zu u´/2u = tan(x) + sec2(x) ist. Lösen wir diese Gleichung mit der Methode der Variablentrennung: ln|u|/2 = ln|sin(x)| - ln|cos(x)| + C1, wobei C1 eine beliebige Konstante ist. Somit ist u = C sin(x)/cos2(x), wobei C eine beliebige Konstante ist. Zurück zu den ursprünglichen Variablen erhalten wir v = ±√(C sin(x)/cos2(x)), y = ∫v dx = ±∫√(C sin(x)/cos2(x)) dx. Zur Integration verwenden wir die Substitution t = cos(x), dann y = ±∫√(C/t) dt = ±2√Ct + C1, wobei C1 eine beliebige Konstante ist. Insgesamt hat die allgemeine Lösung der Differentialgleichung die Form y = ±2√Ccos(x) + C1.

4. Betrachten Sie die Gleichung (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. Zur Lösung verwenden wir den Ersatz y = xz, dann y´ = z + xz´. Wenn wir dies in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir (x/√x^2 - x^2z^2 - 1)dx - (xz + x^2z´)/√(x^2 - x^2z^2) dz = 0. Wenn wir x aus dem ersten Term herausnehmen und die Brüche des zweiten Termes kombinieren, erhalten wir (1/√(1 - z^2))dz = (1/x)(√(x^2 - x^2z^ 2))dx. Lösen wir diese Gleichung mit der Methode der Variablentrennung: ∫(1/√(1 - z^2))dz = ∫(1/x)(√(x^2 - x^2z^2))dx, arcsin( z) = ln |x| + C1, wobei C1 eine beliebige Konstante ist. Somit ist z = sin(ln|x| + C1), y = xz = xsin(ln|x| + C1). Insgesamt ist die Lösung der Gleichung die Kurve y = x*sin(ln|x| + C1).

5. Schreiben wir die Gleichung einer Kurve, die durch den Punkt A(-2, 1) verläuft, wenn der Winkelkoeffizient der Tangente an einem beliebigen Punkt gleich der Ordinate dieses Punktes ist, erhöht um das Fünffache. Die Steigung der Tangente ist gleich der Ableitung der Funktion an einem bestimmten Punkt. Sei y = f(x) die Gleichung der gewünschten Kurve. Dann kann die Bedingung für die Steigung als f´(x) = 5f(x) geschrieben werden. Lösen wir diese Gleichung mit der Methode der Variablentrennung: f´(x)/f(x) = 5 dx, ln|f(x)| = 5x + C1, wobei C1 eine beliebige Konstante ist. Wenn wir die Koordinaten des Punktes A(-2, 1) einsetzen, finden wir C1 = ln|1/2|. Somit hat die Gleichung der gewünschten Kurve die Form y = f(x) = Ce^(5x), wobei C = 1/2. Insgesamt hat die Gleichung der Kurve, die durch den Punkt A(-2, 1) verläuft und die gegebene Bedingung erfüllt, die Form y = (1/2)e^(5x).

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IDZ 11.2 – Option 5. Lösungen Ryabushko A.P.

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IDZ 11.2 – Option 5. Lösungen Ryabushko A.P. ist eine Sammlung von Lösungen für Probleme der mathematischen Analyse. Diese Version enthält Probleme zu Differentialgleichungen und Kurven in der Ebene.

1. Im ersten Problem müssen Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung finden und den Wert der Funktion y=φ(x) bei x=x0 auf zwei Dezimalstellen genau berechnen. Die Gleichung hat die Form: 1,5 y´´= 4cos2x, x0 = π/4, y(0) = 1, y´(0) = 3. Die Lösung dieses Problems wird in der Sammlung dargestellt und mit dem Formeleditor entworfen Microsoft Word 2003.

2. Das zweite Problem erfordert die Suche nach einer allgemeinen Lösung einer Differentialgleichung, die der Reihe nach reduziert werden kann. Die Gleichung sieht so aus: 2,5 y´´xlnx = y´. In dieser Version gibt es keine Lösung für dieses Problem.

3. Das dritte Problem erfordert die Lösung des Cauchy-Problems für eine Differentialgleichung, die der Reihe nach reduziert werden kann. Die Gleichung hat die Form: 3,5 y´´tgy = 2y´2, y(1) = π/2, y´(1) = 2. Die Lösung dieses Problems wird in der Sammlung vorgestellt und mit dem Formeleditor Microsoft entworfen Wort 2003.

4. Das vierte Problem erfordert die Integration dieser Gleichung: 4,5 (x/√x2-y2-1)dx-ydy/√x2-y2=0. In dieser Version gibt es keine Lösung für dieses Problem.

5. Im fünften Problem ist es erforderlich, die Gleichung einer Kurve zu schreiben, die durch den Punkt A(x0, y0) verläuft, wenn bekannt ist, dass die Steigung der Tangente an einem beliebigen Punkt gleich der Ordinate dieses Punktes, erhöht um, ist k mal. Punkt A hat die Koordinaten A(−2, 1), k = 5. Die Lösung für dieses Problem ist in dieser Version nicht verfügbar.

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