Nr 1. Niech wektory $a = \alpha\cdot m + \beta\cdot n$, $b = \gamma\cdot m + \delta\cdot n$, $|m| = k$, $|n| = \ell$, $(m;n) = \varphi$. Musisz znaleźć: a) $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b)$; b) rzut wektora $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ na wektor $b$; c) $\cos(a + \tau\cdot b)$.
Znane: $\alpha = 5$, $\beta = -3$, $\gamma = 4$, $\delta = 2$, $k = 4$, $\ell = 1$, $\varphi = \frac {2\pi} {3}$, $\lambda = 2$, $\mu = -\frac{1}{2}$, $\nu = 3$, $\tau = 0$.
a) Zwróć uwagę, że cudzysłów $\lambda\cdot a + \mu\cdot b$: $$ \begin{aligned} \lambda\cdot a + \mu\cdot b &= \lambda\cdot(\alpha \cdot m + \beta\cdot n) + \mu\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\ lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Język, Język Język Język $\nu\cdot a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} \nu\cdot a + \tau\cdot b & = \nu\ cdot (\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma); \cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Podobnie wyrównane do wyrównanego $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\ cdot b)$:$$\begin{aligned} & (\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b) \ &= ((\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n)\cdot((\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot| m |^2 + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot|n|^2 \ &\quad + ( ( ( ( \lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta) + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot ( \nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma))\cdot(m;n) \ &= (10\cdot3 - \tfrac{1}{2}\cdot4)\cdot16 + (-15\cdot0 + 1\cdot0)\cdot1 + ((10\cdot0 - \tfrac{1}{2}\cdot3)\cdot(-3) + (5\cdot4 + (-3)\cdot2))\cdot\cos\ frac {2\pi}{3}\&= 155 - 23\sqrt{3}. \end{aligned} $$
б) Проекция вектора $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ на вектор $b$ равна: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_b(\nu\cdot a + \tau\cdot b ) \ &= \frac{(\nu\cdot a + \tau\cdot b)\cdot b}{|b|^2}\cdot b \ &= \frac{(\nu\cdot(\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n))\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n)}{\gamma^2+\ delta^2}\cdot (\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= \frac{(3\cdot 5 + 0)\cdot 4 + (0 - \tfrac{1}{2}\cdot 2)\cdot (-3)}{4^2+2^2}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{58}{20}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{29}{10}\cdot (2\cdot m + n). \end{aligned} $$
в) Nieskończona macierz $a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} a + \tau\cdot b &= \alpha\cdot m + \beta\cdot n + \tau\cdot(\gamma \ cdot m + \delta\cdot n) \ &= (5 + 0)\cdot m + (-3 + 0)\cdot n + 0\cdot m + 2\cdot n \ &= 5\cdot m - \cdot N. \end{aligned} $$ Wyrównajmy zakres $a$ i $a + \tau\cdot b$ Begin: $$ \begin{aligned} \cos(a + \tau\cdot b) &= \fra c { a\cdot(a + \tau\cdot b)}{|a|\cdot|a + \tau\cdot b|} \ &= \frac{(\alpha\cdot m + \beta\cdot n)\ cdot (5\cdot m - n)}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{(5\cdot 3 - \cdot(-3))\cdot4}{\sqrt{5^2+3^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{64}{65}. \end{aligned} $$
Nr 2. Wykorzystując współrzędne punktów $A$, $B$ i $C$ dla wskazanych wektorów należy znaleźć: a) moduł wektora $a$; b) iloczyn skalarny wektorów $a$ i $b$; c) rzut wektora $c$ na wektor $d$; d) współrzędne punktu $M$ dzielącego odcinek $\ell$ względem $\alpha$.
Wartość: $A(0; 2; 5)$, $B(2;-3;4)$, $C(3;2;-5)$, $a = \overrightarrow{AB}$, $b = \overrightarrow{BC}$, $c = \overrightarrow{AC}$, $d = (1, 1, 1)$, $\ell = AB$, $\alpha = \frac{1}{3}$.
a) Wektor $a$ ma współrzędne $(2-0,-3-2,4-5) = (2,-5,-1)$, więc jego moduł jest równy $\sqrt{2^2+5 ^2 +1^2} = \sqrt{30}$.
b) Iloczyn skalarny wektorów $a$ i $b$ jest równy: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(1,4,-9) \ &= 2 \cdot 1 + (-5)\cdot 4 + (-1)\cdot(-9) \ &= -33. \end{aligned} $$
c) Rzut wektora $c$ na wektor $d$ równy: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\ cdot d \ &= \frac{(3\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-5)\cdot 1)}{1^2+1^2+1^2}\cdot (1,1,1) \ & = 0\cdot (1,1,1) \ &= (0,0,0). \end{aligned} $$
d) Współrzędne punktu $M$ można znaleźć korzystając z równania parametrycznego prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$: $$ M = A
„IDZ Ryabushko 2.1 Opcja 10” to produkt cyfrowy przeznaczony dla uczniów studiujących matematykę w szkole lub na uniwersytecie. Produkt ten jest zestawem problemów opracowanym przez autora IDZ Ryabushko i odpowiada opcji 10 z podręcznika.
Każde zadanie zawiera szczegółowy opis warunków problemu, a także odpowiedzi i wyjaśnienia dotyczące rozwiązania. Piękny design w formacie HTML sprawia, że korzystanie z produktu jest wygodniejsze i bardziej estetyczne.
Ponadto to wydanie zawiera zaktualizowany materiał i dodatkowe problemy, co pozwala uzyskać pełniejsze zrozumienie poruszanej tematyki matematycznej.
„IDZ Ryabushko 2.1 Opcja 10” to doskonałe narzędzie do samodzielnego przygotowania się do szkoleń, testów i egzaminów.
5-4) = (2,-5,-1)$, więc jego moduł jest równy: $$ |a| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{30}. $$b) Iloczyn skalarny wektorów $a$ i $b$ jest równy: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(3,-5, -9) \ &= 2\cdot3 + (-5)\cdot(-5) + (-1)\cdot(-9) \ &= 35. \end{aligned} $$c) Rzut wektora $c $ na wektor $d $ jest równe: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\cdot d \ &= \ frac{(0-3+ 2)\cdot 1 + (2+(-3)-5)\cdot 1 + (5+4+(-5))\cdot 1}{1^2+1^2+ 1^2}\cdot(1,1,1) \ &= \frac{2}{3}\cdot(1,1,1). \end{aligned} $$d) Współrzędne punktu $M$ można znaleźć korzystając z równania parametrycznego prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$: $$ \begin{aligned} x(t) &= 0 + 2t, \ y(t) &= 2 + (-3-2)t, \ z(t) &= 5 + (4-5)t. \end{aligned} $$ Aby znaleźć współrzędne punktu $M$ dzielącego odcinek $AB$ w relacji $\alpha = \frac{1}{3}$, możesz podstawić $t = \alpha$ do równanie parametryczne: $$ \begin{aligned} x(\alpha) &= 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \y(\alpha) &= 2 + ( -3-2)\ cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}, \z(\alpha) &= 5 + (4-5)\cdot\frac{1}{3 } = \frac{13 }{3}. \end{aligned} $$ Zatem współrzędne punktu $M$ są równe: $$ M\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{13}{ 3}\ dobrze). $$
***
IDZ Ryabushko 2.1 Opcja 10 to zestaw edukacyjno-metodyczny dla uczniów, przeznaczony do samodzielnego odrabiania zadań domowych z języka rosyjskiego w klasie 10. Zestaw zawiera ćwiczenia dotyczące różnych tematów, takich jak słownictwo, gramatyka, pisanie i mówienie. W zestawie znajdują się także materiały objaśniające i zalecenia dotyczące wykonania zadań. Ryabushko IDZ 2.1 Opcja 10 została opracowana na podstawie programu języka rosyjskiego dla klas 10-11, zatwierdzonego przez Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej. Czy zestaw pomoże uczniom usystematyzować znajomość języka rosyjskiego i przygotować się do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego? w tym temacie.
***
Towary cyfrowe można łatwo i szybko uzyskać bez wychodzenia z domu.
Zwykle kosztują mniej niż towary fizyczne.
Towary cyfrowe zajmują mniej miejsca i nie wymagają dodatkowych kosztów przechowywania i wysyłki.
Możliwość pobrania lub dostępu online do produktu cyfrowego pozwala na korzystanie z niego od razu po dokonaniu płatności.
Towary cyfrowe mogą być wygodne do nauki i samorozwoju, takie jak kursy, e-booki lub programy treningowe.
Towary cyfrowe mogą być bardziej przyjazne dla środowiska, ponieważ nie wymagają użycia papieru, plastiku i innych materiałów do produkcji i pakowania.
Towary cyfrowe można aktualizować i ulepszać bez konieczności zakupu nowych wersji, co pozwala zaoszczędzić pieniądze i czas.
Polish 
English 
Chinese 
Spanish 
Indonesian 
French 
Portuguese 
Russian 
Japanese 
Turkish 
Deutsch 
Vietnamese 
Italian 
Korean 
Dutch 
Swedish 
Hungarian 
Bulgarian 
Norwegian 
Finnish 
Greek 
Czech 
Danish 
Rozwiązanie zadania 20.6.3 z kolekcji Kepe O.E. - В данной механической системе кинетическая энергия... ...