Nr. 1. Seien die Vektoren $a = \alpha\cdot m + \beta\cdot n$, $b = \gamma\cdot m + \delta\cdot n$, $|m| = k$, $|n| = \ell$, $(m;n) = \varphi$. Sie müssen Folgendes finden: a) $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b)$; b) Projektion des Vektors $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ auf den Vektor $b$; c) $\cos(a + \tau\cdot b)$.
Bekannt: $\alpha = 5$, $\beta = -3$, $\gamma = 4$, $\delta = 2$, $k = 4$, $\ell = 1$, $\varphi = \frac {2\pi}{3}$, $\lambda = 2$, $\mu = -\frac{1}{2}$, $\nu = 3$, $\tau = 0$.
a) Beachten Sie, dass die Anführungszeichen $\lambda\cdot a + \mu\cdot b$: $$ \begin{aligned} \lambda\cdot a + \mu\cdot b &= \lambda\cdot(\alpha \cdot m + \beta\cdot n) + \mu\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\ lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Sprache, Sprache Sprache Sprache $\nu\cdot a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} \nu\cdot a + \tau\cdot b & = \nu\ cdot (\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma); \cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Ähnlich ausgerichtet wie ausgerichtet $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\ cdot b)$:$$\begin{aligned} & (\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b) \ &= ((\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n)\cdot((\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot| m |^2 + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot|n|^2 \ &\quad + ( ( \lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta) + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot ( \nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma))\cdot(m;n) \ &= (10\cdot3 - \tfrac{1}{2}\cdot4)\cdot16 + (-15\cdot0 + 1\cdot0)\cdot1 + ((10\cdot0 - \tfrac{1}{2}\cdot3)\cdot(-3) + (5\cdot4 + (-3)\cdot2))\cdot\cos\ frac {2\pi}{3}\&= 155 - 23\sqrt{3}. \end{aligned} $$
б) Vektorprojektion $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ auf dem Vektor $b$ wie folgt: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_b(\nu\cdot a + \tau\cdot b ) \ &= \frac{(\nu\cdot a + \tau\cdot b)\cdot b}{|b|^2}\cdot b \ &= \frac{(\nu\cdot(\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n))\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n)}{\gamma^2+\ delta^2}\cdot (\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= \frac{(3\cdot 5 + 0)\cdot 4 + (0 - \tfrac{1}{2}\cdot 2)\cdot (-3)}{4^2+2^2}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{58}{20}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{29}{10}\cdot (2\cdot m + n). \end{aligned} $$
в) Unendliche Matrix $a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} a + \tau\cdot b &= \alpha\cdot m + \beta\cdot n + \tau\cdot(\gamma \ cdot m + \delta\cdot n) \ &= (5 + 0)\cdot m + (-3 + 0)\cdot n + 0\cdot m + 2\cdot n \ &= 5\cdot m - \cdot N. \end{aligned} $$ Lassen Sie uns den Bereich von $a$ und $a + \tau\cdot b$ beginnen: $$ \begin{aligned} \cos(a + \tau\cdot b) &= \fra c { a\cdot(a + \tau\cdot b)}{|a|\cdot|a + \tau\cdot b|} \ &= \frac{(\alpha\cdot m + \beta\cdot n)\ cdot (5\cdot m - n)}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{(5\cdot 3 - \cdot(-3))\cdot4}{\sqrt{5^2+3^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{64}{65}. \end{aligned} $$
Nr. 2. Unter Verwendung der Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ für die angegebenen Vektoren müssen Sie Folgendes ermitteln: a) den Modul des Vektors $a$; b) Skalarprodukt der Vektoren $a$ und $b$; c) Projektion des Vektors $c$ auf den Vektor $d$; d) Koordinaten des Punktes $M$, der das Segment $\ell$ im Verhältnis $\alpha$ teilt.
Befehl: $A(0; 2; 5)$, $B(2;-3;4)$, $C(3;2;-5)$, $a = \overrightarrow{AB}$, $b = \overrightarrow{BC}$, $c = \overrightarrow{AC}$, $d = (1, 1, 1)$, $\ell = AB$, $\alpha = \frac{1}{3}$.
a) Der Vektor $a$ hat die Koordinaten $(2-0,-3-2,4-5) = (2,-5,-1)$, daher ist sein Modul gleich $\sqrt{2^2+5 ^2 +1^2} = \sqrt{30}$.
b) Das Skalarprodukt der Vektoren $a$ und $b$ ist gleich: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(1,4,-9) \ &= 2 \cdot 1 + (-5)\cdot 4 + (-1)\cdot(-9) \ &= -33. \end{aligned} $$
c) Projektion des Vektors $c$ auf den Vektor $d$ gleich: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\ cdot d \ &= \frac{(3\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-5)\cdot 1)}{1^2+1^2+1^2}\cdot (1,1,1) \ & = 0\cdot (1,1,1) \ &= (0,0,0). \end{aligned} $$
d) Die Koordinaten des Punktes $M$ können mithilfe der parametrischen Gleichung der Geraden ermittelt werden, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft: $$ M = A
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5-4) = (2,-5,-1)$, daher ist sein Modul gleich: $$ |a| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{30}. $$b) Das Skalarprodukt der Vektoren $a$ und $b$ ist gleich: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(3,-5, -9) \ &= 2\cdot3 + (-5)\cdot(-5) + (-1)\cdot(-9) \ &= 35. \end{aligned} $$c) Projektion des Vektors $c $ auf den Vektor $d $ ist gleich: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\cdot d \ &= \ frac{(0-3+ 2)\cdot 1 + (2+(-3)-5)\cdot 1 + (5+4+(-5))\cdot 1}{1^2+1^2+ 1^2}\cdot( 1,1,1) \ &= \frac{2}{3}\cdot(1,1,1). \end{aligned} $$d) Die Koordinaten des Punktes $M$ können mithilfe der parametrischen Gleichung der Linie ermittelt werden, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft: $$ \begin{aligned} x(t) &= 0 + 2t, \ y(t) &= 2 + (-3-2)t, \ z(t) &= 5 + (4-5)t. \end{aligned} $$ Um die Koordinaten des Punktes $M$ zu finden, der das Segment $AB$ in der Beziehung $\alpha = \frac{1}{3}$ teilt, können Sie $t = \alpha$ in einsetzen die parametrische Gleichung: $$ \begin{aligned} x(\alpha) &= 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \y(\alpha) &= 2 + ( -3-2)\ cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}, \z(\alpha) &= 5 + (4-5)\cdot\frac{1}{3 } = \frac{13 }{3}. \end{aligned} $$ Die Koordinaten des Punktes $M$ sind also gleich: $$ M\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{13}{ 3}\ rechts). $$
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IDZ Ryabushko 2.1 Option 10 ist ein pädagogisches und methodisches Set für Schüler, das für die Bearbeitung individueller Hausaufgaben in russischer Sprache in der 10. Klasse gedacht ist. Das Kit enthält Aktivitäten zu verschiedenen Themen wie Wortschatz, Grammatik, Schreiben und Sprechen. Das Kit enthält außerdem erläuterndes Material und Empfehlungen zur Aufgabenerledigung. Ryabushko IDZ 2.1 Option 10 wurde auf der Grundlage des vom Bildungsministerium der Russischen Föderation genehmigten russischen Sprachprogramms für die Klassen 10 bis 11 entwickelt. Wird das Kit Schülern dabei helfen, ihre Kenntnisse der russischen Sprache zu systematisieren und sich auf das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens vorzubereiten? zu diesem Thema.
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