Č.1. Nechť vektory $a = \alpha\cdot m + \beta\cdot n$, $b = \gamma\cdot m + \delta\cdot n$, $|m| = k$, $|n| = \ell$, $(m;n) = \varphi$. Potřebujete najít: a) $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b)$; b) promítání vektoru $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ na vektor $b$; c) $\cos(a + \tau\cdot b)$.
Známé: $\alpha = 5$, $\beta = -3$, $\gamma = 4$, $\delta = 2$, $k = 4$, $\ell = 1$, $\varphi = \frac {2\pi}{3}$, $\lambda = 2 $, $\mu = -\frac{1}{2}$, $\nu = 3 $, $\tau = 0 $.
а) Všimněte si, že uvozovky $\lambda\cdot a + \mu\cdot b$: $$ \begin{aligned} \lambda\cdot a + \mu\cdot b &= \lambda\cdot(\alpha \cdot m + \beta\cdot n) + \mu\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\ lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Jazyk, Jazyk Jazyk Jazyk $\nu\cdot a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} \nu\cdot a + \tau\cdot b & = \nu\ cdot (\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma); \cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Podobně zarovnáno jako zarovnáno $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\ cdot b)$:$$\begin{aligned} & (\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b) \ &= ((\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n)\cdot((\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot| m |^2 + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot|n|^2 \ &\quad + ( ( \lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta) + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot ( \nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma))\cdot(m;n) \ &= (10\cdot3 - \tfrac{1}{2}\cdot4)\cdot16 + (-15\cdot0 + 1\cdot0)\cdot1 + ((10\cdot0 - \tfrac{1}{2}\cdot3)\cdot(-3) + (5\cdot4 + (-3)\cdot2))\cdot\cos\ frac {2\pi}{3}\&= 155 - 23\sqrt{3}. \end{aligned} $$
б) Проекция вектора $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ на вектор $b$ равна: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_b(\nu\cdot a + \tau\cdot b ) \ &= \frac{(\nu\cdot a + \tau\cdot b)\cdot b}{|b|^2}\cdot b \ &= \frac{(\nu\cdot(\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n))\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n)}{\gamma^2+\ delta^2}\cdot (\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= \frac{(3\cdot 5 + 0)\cdot 4 + (0 - \tfrac{1}{2}\cdot 2)\cdot (-3)}{4^2+2^2}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{58}{20}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{29}{10}\cdot (2\cdot m + n). \end{aligned} $$
в) Nekonečná matice $a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} a + \tau\cdot b &= \alpha\cdot m + \beta\cdot n + \tau\cdot(\gamma \ cdot m + \delta\cdot n) \ &= (5 + 0)\cdot m + (-3 + 0)\cdot n + 0\cdot m + 2\cdot n \ &= 5\cdot m - \cdot n. \end{aligned} $$ Zarovnáme rozsah $a$ a $a + \tau\cdot b$ begin: $$ \begin{aligned} \cos(a + \tau\cdot b) &= \fra c { a\cdot(a + \tau\cdot b)}{|a|\cdot|a + \tau\cdot b|} \ &= \frac{(\alpha\cdot m + \beta\cdot n)\ cdot (5\cdot m - n)}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{(5\cdot 3 - \cdot(-3))\cdot4}{\sqrt{5^2+3^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{64}{65}. \end{aligned} $$
Č. 2 Pomocí souřadnic bodů $A$, $B$ a $C$ pro uvedené vektory potřebujete najít: a) modul vektoru $a$; b) skalární součin vektorů $a$ a $b$; c) projekce vektoru $c$ na vektor $d$; d) souřadnice bodu $M$ rozdělujícího segment $\ell$ ve vztahu $\alpha$.
Ano: $A(0; 2; 5)$, $B(2;-3;4)$, $C(3;2;-5)$, $a = \overrightarrow{AB}$, $b = \overrightarrow{BC}$, $c = \overrightarrow{AC}$, $d = (1, 1, 1)$, $\ell = AB$, $\alpha = \frac{1}{3}$.
a) Vektor $a$ má souřadnice $(2-0,-3-2,4-5) = (2,-5,-1)$, takže jeho modul je roven $\sqrt{2^2+5 ^2 +1^2} = \sqrt{30}$.
b) Skalární součin vektorů $a$ a $b$ je roven: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(1,4,-9) \ &= 2 \cdot 1 + (-5)\cdot 4 + (-1)\cdot(-9) \ &= -33. \end{aligned} $$
c) Projekce vektoru $c$ na vektor $d$ rovný: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\ cdot d \ &= \frac{(3\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-5)\cdot 1)}{1^2+1^2+1^2}\cdot (1,1,1) \ & = 0\cdot (1,1,1) \ &= (0,0,0). \end{aligned} $$
d) Souřadnice bodu $M$ zjistíme pomocí parametrické rovnice přímky procházející body $A$ a $B$: $$ M = A
"IDZ Ryabushko 2.1 Option 10" je digitální produkt určený pro studenty studující matematiku ve škole nebo na univerzitě. Tento produkt je souborem problémů sestaveným autorem IDZ Ryabushko a odpovídá možnosti 10 z učebnice.
Každý problém obsahuje podrobný popis podmínek problému a také odpovědi a vysvětlení k řešení. Krásný design ve formátu HTML činí používání produktu pohodlnějším a esteticky příjemným.
Toto vydání navíc obsahuje aktualizovaný materiál a další problémy, které vám umožní lépe porozumět probíraným matematickým tématům.
"IDZ Ryabushko 2.1 Option 10" je vynikající nástroj pro sebepřípravu na školení, testy a zkoušky.
5-4) = (2,-5,-1)$, takže jeho modul je roven: $$ |a| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{30}. $$b) Skalární součin vektorů $a$ a $b$ je roven: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(3,-5, -9) \ &= 2\cdot3 + (-5)\cdot(-5) + (-1)\cdot(-9) \ &= 35. \end{aligned} $$c) Projekce vektoru $c $ na vektor $d $ se rovná: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\cdot d \ &= \ frac{(0-3+ 2)\cdot 1 + (2+(-3)-5)\cdot 1 + (5+4+(-5))\cdot 1}{1^2+1^2+ 1^2}\cdot( 1,1,1) \ &= \frac{2}{3}\cdot(1,1,1). \end{aligned} $$d) Souřadnice bodu $M$ lze zjistit pomocí parametrické rovnice přímky procházející body $A$ a $B$: $$ \begin{aligned} x(t) &= 0 + 2t, \ y(t) &= 2 + (-3-2)t, \ z(t) &= 5 + (4-5)t. \end{aligned} $$ Chcete-li najít souřadnice bodu $M$ rozdělujícího segment $AB$ ve vztahu $\alpha = \frac{1}{3}$, můžete dosadit $t = \alpha$ do parametrická rovnice: $$ \begin{aligned} x(\alpha) &= 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \y(\alpha) &= 2 + ( -3-2)\ cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}, \z(\alpha) &= 5 + (4-5)\cdot\frac{1}{3 } = \frac{13 }{3}. \end{aligned} $$ Souřadnice bodu $M$ se tedy rovnají: $$ M\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{13}{ 3}\ vpravo). $$
***
IDZ Ryabushko 2.1 Varianta 10 je vzdělávací a metodická sada pro školáky, která je určena k plnění individuálních domácích úkolů v ruském jazyce v 10. ročníku. Sada obsahuje aktivity na různá témata, jako je slovní zásoba, gramatika, psaní a mluvení. Sada obsahuje také vysvětlující materiály a doporučení pro plnění úkolů. Ryabushko IDZ 2.1 Varianta 10 byla vyvinuta na základě programu ruského jazyka pro ročníky 10-11 schváleného Ministerstvem školství Ruské federace. Pomůže stavebnice školákům systematizovat znalosti ruského jazyka a připravit se na úspěšné složení Jednotné státní zkoušky? na toto téma.
***
Digitální zboží lze snadno a rychle získat, aniž byste museli opustit domov.
Obvykle stojí méně než fyzické zboží.
Digitální zboží zabírá méně místa a nevyžaduje další náklady na skladování a dopravu.
Možnost stažení nebo online přístupu k digitálnímu produktu umožňuje jeho použití ihned po zaplacení.
Digitální zboží může být vhodné pro učení a seberozvoj, jako jsou kurzy, e-knihy nebo cvičební programy.
Digitální zboží může být šetrnější k životnímu prostředí, protože nevyžaduje použití papíru, plastu a dalších materiálů pro výrobu a balení.
Digitální zboží lze aktualizovat a vylepšovat bez nutnosti kupovat nové verze, což může ušetřit peníze a čas.
Czech 
English 
Chinese 
Spanish 
Indonesian 
French 
Portuguese 
Russian 
Japanese 
Turkish 
Deutsch 
Vietnamese 
Italian 
Polish 
Korean 
Dutch 
Swedish 
Hungarian 
Bulgarian 
Norwegian 
Finnish 
Greek 
Danish 
Řešení problému 20.6.3 z kolekce Kepe O.E. - В данной механической системе кинетическая энергия… ...