IDZ リャブシュコ 2.1 オプション 10

1番。ベクトルを $a = \alpha\cdot m + \beta\cdot n$、$b = \gamma\cdot m + \delta\cdot n$、$|m| とします。 = k$, $|n| = \ell$、$(m;n) = \varphi$。以下を見つける必要があります。 a) $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b)$; b) ベクトル $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ のベクトル $b$ への射影。 c) $\cos(a + \tau\cdot b)$。

既知: $\alpha = 5$、$\beta = -3$、$\gamma = 4$、$\delta = 2$、$k = 4$、$\ell = 1$、$\varphi = \frac {2\pi}{3}$、$\lambda = 2$、$\mu = -\frac{1}{2}$、$\nu = 3$、$\tau = 0$。

а) 引用符 $\lambda\cdot a + \mu\cdot b$ に注意してください: $$ \begin{aligned} \lambda\cdot a + \mu\cdot b &= \lambda\cdot(\alpha \cdot m + \beta\cdot n) + \mu\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\ラムダ\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n。 \end{aligned} $$ 言語、言語 言語 言語 $\nu\cdot a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} \nu\cdot a + \tau\cdot b & = \nu\ cdot (\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma); \cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n。 \end{aligned} $$ 同様に aligned $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\ cdot b)$:$$\begin{aligned} & (\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b) \ &= ((\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n)\cdot((\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot| m |^2 + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot|n|^2 \ &\quad + ( ( \lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta) + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot ( \nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma))\cdot(m;n) \ &= (10\cdot3 - \tfrac{1}{2}\cdot4)\cdot16 + (-15\cdot0 + 1\cdot0)\cdot1 + ((10\cdot0 - \tfrac{1}{2}\cdot3)\cdot(-3) + (5\cdot4 + (-3)\cdot2))\cdot\cos\ frac {2\pi}{3}\&= 155 - 23\sqrt{3}。 \end{整列} $$

б) Проекция вектора $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ на вектор $b$ равна: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_b(\nu\cdot a + \tau\cdot b ) \ &= \frac{(\nu\cdot a + \tau\cdot b)\cdot b}{|b|^2}\cdot b \ &= \frac{(\nu\cdot(\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n))\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n)}{\gamma^2+\ delta^2}\cdot (\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= \frac{(3\cdot 5 + 0)\cdot 4 + (0 - \tfrac{1}{2}\cdot 2)\cdot (-3)}{4^2+2^2}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{58}{20}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{29}{10}\cdot (2\cdot m + n)。 \end{整列} $$

в) 無限行列 $a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} a + \tau\cdot b &= \alpha\cdot m + \beta\cdot n + \tau\cdot(\gamma \ cdot m + \delta\cdot n) \ &= (5 + 0)\cdot m + (-3 + 0)\cdot n + 0\cdot m + 2\cdot n \ &= 5\cdot m - \cdot n. \end{aligned} $$ $a$ と $a + \tau\cdot b$ の範囲を揃えてみましょう begin: $$ \begin{aligned} \cos(a + \tau\cdot b) &= \fra c { a\cdot(a + \tau\cdot b)}{|a|\cdot|a + \tau\cdot b|} \ &= \frac{(\alpha\cdot m + \beta\cdot n)\ cdot (5\cdot m - n)}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{(5\cdot 3 - \cdot(-3))\cdot4}{\sqrt{5^2+3^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{64}{65}。 \end{整列} $$

2番。指定されたベクトルの点 $A$、$B$、$C$ の座標を使用して、以下を見つける必要があります。 a) ベクトル $a$ の係数。 b) ベクトル $a$ と $b$ のスカラー積。 c) ベクトル $c$ をベクトル $d$ に投影する。 d) $\alpha$ 関係でセグメント $\ell$ を分割する点 $M$ の座標。

例: $A(0; 2; 5)$、$B(2;-3;4)$、$C(3;2;-5)$、$a = \overrightarrow{AB}$、$b = \overrightarrow{BC}$、$c = \overrightarrow{AC}$、$d = (1, 1, 1)$、$\ell = AB$、$\alpha = \frac{1}{3}$。

a) ベクトル $a$ の座標は $(2-0,-3-2,4-5) = (2,-5,-1)$ であるため、その係数は $\sqrt{2^2+5 に等しくなります。 ^2 +1^2} = \sqrt{30}$。

b) ベクトル $a$ と $b$ のスカラー積は次のようになります: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(1,4,-9) \ &= 2 \cdot 1 + (-5)\cdot 4 + (-1)\cdot(-9) \ &= -33。 \end{整列} $$

c) ベクトル $c$ のベクトル $d$ への投影: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\ cdot d \ &= \frac{(3\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-5)\cdot 1)}{1^2+1^2+1^2}\cdot (1,1,1) \ & = 0\cdot (1,1,1) \ &= (0,0,0)。 \end{整列} $$

d) 点 $M$ の座標は、点 $A$ と $B$ を通る直線のパラメトリック方程式を使用して求めることができます: $$ M = A

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5-4) = (2,-5,-1)$ であるため、その係数は $$ |a| と等しくなります。 = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{30}。 $$b) ベクトル $a$ と $b$ のスカラー積は次のようになります: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(3,-5, -9) \ &= 2\cdot3 + (-5)\cdot(-5) + (-1)\cdot(-9) \ &= 35. \end{aligned} $$c) ベクトル $c の射影ベクトル $d $ に対する $ は次と同等です: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\cdot d \ &= \ frac{(0-3+2)\cdot 1 + (2+(-3)-5)\cdot 1 + (5+4+(-5))\cdot 1}{1^2+1^2+ 1^2}\cdot( 1,1,1) \ &= \frac{2}{3}\cdot(1,1,1)。 \end{aligned} $$d) 点 $M$ の座標は、点 $A$ と $B$ を通る直線のパラメトリック方程式を使用して求めることができます: $$ \begin{aligned} x(t) &= 0 + 2t、\ y(t) &= 2 + (-3-2)t、\ z(t) &= 5 + (4-5)t。 \end{aligned} $$ 関係 $\alpha = \frac{1}{3}$ において線分 $AB$ を分割する点 $M$ の座標を求めるには、$t = \alpha$ を次のように代入します。パラメトリック方程式: $$ \begin{aligned} x(\alpha) &= 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3},\ y(\alpha) &= 2 + ( -3-2)\ cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}, \z(\alpha) &= 5 + (4-5)\cdot\frac{1}{3 } = \frac{13 }{3}。 \end{aligned} $$ したがって、点 $M$ の座標は次のようになります: $$ M\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{13}{ 3}\右）。 $$

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