ИДЗ Рябушко 2.1 Вариант 10

№1. Пусть даны вектора $a = \alpha\cdot m + \beta\cdot n$, $b = \gamma\cdot m + \delta\cdot n$, $|m| = k$, $|n| = \ell$, $(m;n) = \varphi$. Требуется найти: а) $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b)$; б) проекцию вектора $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ на вектор $b$; в) $\cos(a + \tau\cdot b)$.

Известно: $\alpha = 5$, $\beta = -3$, $\gamma = 4$, $\delta = 2$, $k = 4$, $\ell = 1$, $\varphi = \frac{2\pi}{3}$, $\lambda = 2$, $\mu = -\frac{1}{2}$, $\nu = 3$, $\tau = 0$.

а) Найдем сначала выражение для вектора $\lambda\cdot a + \mu\cdot b$: $$ \begin{aligned} \lambda\cdot a + \mu\cdot b &= \lambda\cdot(\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \mu\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Аналогично, находим выражение для вектора $\nu\cdot a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} \nu\cdot a + \tau\cdot b &= \nu\cdot(\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Теперь можем вычислить скалярное произведение $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b)$: $$ \begin{aligned} &(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b) \ &= ((\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n)\cdot((\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot|m|^2 + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot|n|^2 \ &\quad + ((\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta) + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot(\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma))\cdot(m;n) \ &= (10\cdot3 - \tfrac{1}{2}\cdot4)\cdot16 + (-15\cdot0 + 1\cdot0)\cdot1 + ((10\cdot0 - \tfrac{1}{2}\cdot3)\cdot(-3) + (5\cdot4 + (-3)\cdot2))\cdot\cos\frac{2\pi}{3} \ &= 155 - 23\sqrt{3}. \end{aligned} $$

б) Проекция вектора $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ на вектор $b$ равна: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_b(\nu\cdot a + \tau\cdot b) \ &= \frac{(\nu\cdot a + \tau\cdot b)\cdot b}{|b|^2}\cdot b \ &= \frac{(\nu\cdot(\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n))\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n)}{\gamma^2+\delta^2}\cdot (\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= \frac{(3\cdot 5 + 0)\cdot 4 + (0 - \tfrac{1}{2}\cdot 2)\cdot (-3)}{4^2+2^2}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{58}{20}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{29}{10}\cdot (2\cdot m + n). \end{aligned} $$

в) Найдём вначале вектор $a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} a + \tau\cdot b &= \alpha\cdot m + \beta\cdot n + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (5 + 0)\cdot m + (-3 + 0)\cdot n + 0\cdot m + 2\cdot n \ &= 5\cdot m - 1\cdot n. \end{aligned} $$ Тогда косинус угла между векторами $a$ и $a + \tau\cdot b$ равен: $$ \begin{aligned} \cos(a + \tau\cdot b) &= \frac{a\cdot(a + \tau\cdot b)}{|a|\cdot|a + \tau\cdot b|} \ &= \frac{(\alpha\cdot m + \beta\cdot n)\cdot(5\cdot m - n)}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{(5\cdot 3 - 1\cdot(-3))\cdot4}{\sqrt{5^2+3^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{64}{65}. \end{aligned} $$

№2. По координатам точек $A$, $B$ и $C$ для указанных векторов требуется найти: а) модуль вектора $a$; б) скалярное произведение векторов $a$ и $b$; в) проекцию вектора $c$ на вектор $d$; г) координаты точки $M$, делящей отрезок $\ell$ в отношении $\alpha$.

Дано: $A(0; 2; 5)$, $B(2;-3;4)$, $C(3;2;-5)$, $a = \overrightarrow{AB}$, $b = \overrightarrow{BC}$, $c = \overrightarrow{AC}$, $d = (1, 1, 1)$, $\ell = AB$, $\alpha = \frac{1}{3}$.

а) Вектор $a$ имеет координаты $(2-0,-3-2,4-5) = (2,-5,-1)$, поэтому его модуль равен $\sqrt{2^2+5^2+1^2} = \sqrt{30}$.

б) Скалярное произведение векторов $a$ и $b$ равно: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(1,4,-9) \ &= 2\cdot 1 + (-5)\cdot 4 + (-1)\cdot(-9) \ &= -33. \end{aligned} $$

в) Проекция вектора $c$ на вектор $d$ равна: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\cdot d \ &= \frac{(3\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-5)\cdot 1)}{1^2+1^2+1^2}\cdot (1,1,1) \ &= 0\cdot (1,1,1) \ &= (0,0,0). \end{aligned} $$

г) Координаты точки $M$ можно найти с помощью параметрического уравнения прямой, проходящей через точки $A$ и $B$: $$ M = A

"IДЗ Рябушко 2.1 Вариант 10" - это цифровой продукт, предназначенный для студентов, изучающих математику в школе или университете. Этот продукт представляет собой набор задач, составленных автором ИДЗ Рябушко, и соответствует варианту 10 из учебника.

Каждая задача содержит подробное описание условия задачи, а также ответы и пояснения к решению. Красивое оформление в формате HTML делает использование продукта более удобным и эстетичным.

Кроме того, данное издание содержит обновленный материал и дополнительные задачи, что позволяет получить более полное представление о рассматриваемых математических темах.

"IДЗ Рябушко 2.1 Вариант 10" является отличным инструментом для самостоятельной подготовки к учебным занятиям, контрольных работам и экзаменам.

5-4) = (2,-5,-1)$, поэтому его модуль равен: $$ |a| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{30}. $$б) Скалярное произведение векторов $a$ и $b$ равно: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(3,-5,-9) \ &= 2\cdot3 + (-5)\cdot(-5) + (-1)\cdot(-9) \ &= 35. \end{aligned} $$в) Проекция вектора $c$ на вектор $d$ равна: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\cdot d \ &= \frac{(0-3+2)\cdot 1 + (2+(-3)-5)\cdot 1 + (5+4+(-5))\cdot 1}{1^2+1^2+1^2}\cdot(1,1,1) \ &= \frac{2}{3}\cdot(1,1,1). \end{aligned} $$г) Координаты точки $M$ можно найти, используя параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки $A$ и $B$: $$ \begin{aligned} x(t) &= 0 + 2t, \ y(t) &= 2 + (-3-2)t, \ z(t) &= 5 + (4-5)t. \end{aligned} $$ Для нахождения координат точки $M$, делящей отрезок $AB$ в отношении $\alpha = \frac{1}{3}$, можно подставить $t = \alpha$ в параметрическое уравнение: $$ \begin{aligned} x(\alpha) &= 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \ y(\alpha) &= 2 + (-3-2)\cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}, \ z(\alpha) &= 5 + (4-5)\cdot\frac{1}{3} = \frac{13}{3}. \end{aligned} $$ Значит, координаты точки $M$ равны: $$ M\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{13}{3}\right). $$

***

ИДЗ Рябушко 2.1 Вариант 10 - это учебно-методический комплект для школьников, который предназначен для выполнения индивидуальных домашних заданий по русскому языку в 10 классе. В комплект входят задания на различные темы, такие как лексика, грамматика, письменная и устная речь. Также в комплекте есть пояснительные материалы и рекомендации по выполнению заданий. ИДЗ Рябушко 2.1 Вариант 10 разработан на основе программы русского языка для 10-11 классов, утвержденной Министерством образования РФ. Комплект поможет школьникам систематизировать знания по русскому языку и подготовиться к успешной сдаче ЕГ? по данному предмету.

***

1. Отличное качество заданий в ИДЗ Рябушко 2.1 Вариант 10!
2. Благодаря этому цифровому товару я легко и быстро подготовился к экзамену.
3. Прекрасный выбор для тех, кто хочет успешно сдать ИДЗ по математике.
4. ИДЗ Рябушко 2.1 Вариант 10 содержит множество интересных и полезных заданий.
5. Этот цифровой товар помог мне понять материал и улучшить свои навыки в решении задач.
6. Я рекомендую ИДЗ Рябушко 2.1 Вариант 10 всем, кто ищет качественный и полезный цифровой продукт.
7. Отличный выбор для тех, кто хочет укрепить свои знания в математике.
8. ИДЗ Рябушко 2.1 Вариант 10 - это незаменимый помощник в подготовке к экзамену или тестированию.
9. Спасибо создателям за такой полезный и удобный для использования цифровой товар.
10. ИДЗ Рябушко 2.1 Вариант 10 - это отличный выбор для тех, кто хочет эффективно использовать свое время и улучшить свои знания в математике.

Особенности:

Цифровые товары можно легко и быстро получить, не выходя из дома.

Они обычно стоят дешевле, чем физические товары.

Цифровые товары занимают меньше места и не требуют дополнительных затрат на хранение и доставку.

Возможность скачивания или онлайн-доступа к цифровому товару позволяет использовать его сразу после оплаты.

Цифровые товары могут быть удобны для обучения и саморазвития, например, курсы, электронные книги или программы тренировок.

Цифровые товары могут быть экологически более дружелюбными, так как не требуют использования бумаги, пластика и других материалов для производства и упаковки.

Цифровые товары могут обновляться и улучшаться без необходимости покупки новых версий, что может сэкономить деньги и время.