IDZ Ryabushko 2.1 Επιλογή 10

Νο. 1. Έστω τα διανύσματα $a = \alpha\cdot m + \beta\cdot n$, $b = \gamma\cdot m + \delta\cdot n$, $|m| = k$, $|n| = \ell$, $(m;n) = \varphi$. Πρέπει να βρείτε: a) $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b)$; β) προβολή του διανύσματος $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ στο διάνυσμα $b$; γ) $\cos(a + \tau\cdot b)$.

Γνωστά: $\alpha = 5$, $\beta = -3$, $\gamma = 4$, $\delta = 2$, $k = 4$, $\ell = 1$, $\varphi = \frac {2\pi}{3}$, $\lambda = 2$, $\mu = -\frac{1}{2}$, $\nu = 3$, $\tau = 0$.

α) Σημειώστε ότι τα εισαγωγικά σημειώνουν $\lambda\cdot a + \mu\cdot b$: $$ \begin{aligned} \lambda\cdot a + \mu\cdot b &= \lambda\cdot(\alpha \cdot m + \beta\cdot n) + \mu\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\ lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Language, Language Language Language $\nu\cdot a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} \nu\cdot a + \tau\cdot b & = \nu\ cdot (\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma); \cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Ομοίως στοίχιση με στοίχιση $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\ cdot b)$:$$\begin{aligned} & (\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b) \ &= ((\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n)\cdot((\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot| m |^2 + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot|n|^2 \ &\quad + ( ( \lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta) + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot ( \nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma))\cdot(m;n) \ &= (10\cdot3 - \tfrac{1}{2}\cdot4)\cdot16 + (-15\cdot0 + 1\cdot0)\cdot1 + ((10\cdot0 - \tfrac{1}{2}\cdot3)\cdot(-3) + (5\cdot4 + (-3)\cdot2))\cdot\cos\ frac {2\pi}{3}\&= 155 - 23\sqrt{3}. \end{στοιχισμένος} $$

б) Проекция вектора $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ на διάνυσμα $b$ βαθμίδα: $$ \begin{aligned} &\όνομα χειριστή{proj}_b(\nu\cdot a + \tau\cdot b ) \ &= \frac{(\nu\cdot a + \tau\cdot b)\cdot b}{|b|^2}\cdot b \ &= \frac{(\nu\cdot(\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n))\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n)}{\gamma^2+\ delta^2}\cdot (\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= \frac{(3\cdot 5 + 0)\cdot 4 + (0 - \tfrac{1}{2}\cdot 2)\cdot (-3)}{4^2+2^2}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{58}{20}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{29}{10}\cdot (2\cdot m + n). \end{στοιχισμένος} $$

β) Άπειρος πίνακας $a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} a + \tau\cdot b &= \alpha\cdot m + \beta\cdot n + \tau\cdot(\gamma \ cdot m + \delta\cdot n) \ &= (5 + 0)\cdot m + (-3 + 0)\cdot n + 0\cdot m + 2\cdot n \ &= 5\cdot m - \cdot n. \end{aligned} $$ Ας ευθυγραμμίσουμε το εύρος των $a$ και $a + \tau\cdot b$ αρχή: $$ \begin{aligned} \cos(a + \tau\cdot b) &= \fra c { a\cdot(a + \tau\cdot b)}{|a|\cdot|a + \tau\cdot b|} \ &= \frac{(\alpha\cdot m + \beta\cdot n)\ cdot (5\cdot m - n)}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{(5\cdot 3 - \cdot(-3))\cdot4}{\sqrt{5^2+3^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{64}{65}. \end{στοιχισμένος} $$

Νο 2. Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των σημείων $A$, $B$ και $C$ για τα υποδεικνυόμενα διανύσματα, πρέπει να βρείτε: α) το μέτρο του διανύσματος $a$; β) κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων $a$ και $b$. γ) προβολή του διανύσματος $c$ στο διάνυσμα $d$. δ) συντεταγμένες του σημείου $M$ που διαιρεί το τμήμα $\ell$ σε σχέση $\alpha$.

Δώρο: $A(0; 2; 5)$, $B(2;-3;4)$, $C(3;2;-5)$, $a = \overrightarrow{AB}$, $b = \overrightarrow{BC}$, $c = \overrightarrow{AC}$, $d = (1, 1, 1)$, $\ell = AB$, $\alpha = \frac{1}{3}$.

α) Το διάνυσμα $a$ έχει συντεταγμένες $(2-0,-3-2,4-5) = (2,-5,-1)$, επομένως ο συντελεστής του είναι ίσος με $\sqrt{2^2+5 ^2 +1^2} = \sqrt{30}$.

β) Το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων $a$ και $b$ είναι ίσο με: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(1,4,-9) \ &= 2 \cdot 1 + (-5)\cdot 4 + (-1)\cdot(-9) \ &= -33. \end{στοιχισμένος} $$

γ) Προβολή του διανύσματος $c$ στο διάνυσμα $d$ ίση με: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\ cdot d \ &= \frac{(3\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-5)\cdot 1)}{1^2+1^2+1^2}\cdot (1,1,1) \ & = 0\cdot (1,1,1) \ &= (0,0,0). \end{στοιχισμένος} $$

δ) Οι συντεταγμένες του σημείου $M$ μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας την παραμετρική εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $A$ και $B$: $$ M = A

Το "IDZ Ryabushko 2.1 Option 10" είναι ένα ψηφιακό προϊόν που προορίζεται για μαθητές που σπουδάζουν μαθηματικά στο σχολείο ή στο πανεπιστήμιο. Αυτό το προϊόν είναι ένα σύνολο προβλημάτων που συντάχθηκε από τον συγγραφέα του IDZ Ryabushko και αντιστοιχεί στην επιλογή 10 από το σχολικό βιβλίο.

Κάθε πρόβλημα περιέχει μια λεπτομερή περιγραφή των συνθηκών του προβλήματος, καθώς και απαντήσεις και επεξηγήσεις για τη λύση. Ο όμορφος σχεδιασμός σε μορφή HTML κάνει τη χρήση του προϊόντος πιο βολική και αισθητικά ευχάριστη.

Επιπλέον, αυτή η έκδοση περιέχει ενημερωμένο υλικό και πρόσθετα προβλήματα, τα οποία σας επιτρέπουν να κατανοήσετε πληρέστερα τα μαθηματικά θέματα που καλύπτονται.

Το "IDZ Ryabushko 2.1 Option 10" είναι ένα εξαιρετικό εργαλείο για αυτοπροετοιμασία για προπονήσεις, τεστ και εξετάσεις.

5-4) = (2,-5,-1)$, άρα το μέτρο του είναι ίσο με: $$ |a| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{30}. $$b) Το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων $a$ και $b$ ισούται με: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(3,-5, -9) \ &= 2\cdot3 + (-5)\cdot(-5) + (-1)\cdot(-9) \ &= 35. \end{aligned} $$c) Προβολή του διανύσματος $c Το $ στο διάνυσμα $d $ ισούται με: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\cdot d \ &= \ frac{(0-3+ 2)\cdot 1 + (2+(-3)-5)\cdot 1 + (5+4+(-5))\cdot 1}{1^2+1^2+ 1^2}\cdot( 1,1,1) \ &= \frac{2}{3}\cdot(1,1,1). \end{aligned} $$d) Οι συντεταγμένες του σημείου $M$ μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας την παραμετρική εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $A$ και $B$: $$ \begin{aligned} x(t) &= 0 + 2t, \ y(t) &= 2 + (-3-2)t, \ z(t) &= 5 + (4-5)t. \end{aligned} $$ Για να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου $M$ που διαιρεί το τμήμα $AB$ στη σχέση $\alpha = \frac{1}{3}$, μπορείτε να αντικαταστήσετε το $t = \alpha$ σε η παραμετρική εξίσωση: $$ \begin{aligned} x(\alpha) &= 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \y(\alpha) &= 2 + ( -3-2)\ cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}, \z(\alpha) &= 5 + (4-5)\cdot\frac{1}{3 } = \frac{13 }{3}. \end{aligned} $$ Άρα οι συντεταγμένες του σημείου $M$ είναι ίσες με: $$ M\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{13}{ 3}\ δεξιά). $$

***

Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 10 είναι ένα εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό σύνολο για μαθητές σχολείου, το οποίο προορίζεται για την ολοκλήρωση ατομικής εργασίας στη ρωσική γλώσσα στη 10η τάξη. Το κιτ περιλαμβάνει δραστηριότητες για διάφορα θέματα όπως λεξιλόγιο, γραμματική, γραφή και ομιλία. Το κιτ περιέχει επίσης επεξηγηματικό υλικό και συστάσεις για την ολοκλήρωση εργασιών. Το Ryabushko IDZ 2.1 Επιλογή 10 αναπτύχθηκε με βάση το πρόγραμμα ρωσικής γλώσσας για τις τάξεις 10-11, εγκεκριμένο από το Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας. Θα βοηθήσει το κιτ τους μαθητές να συστηματοποιήσουν τις γνώσεις τους στη ρωσική γλώσσα και να προετοιμαστούν για την επιτυχή επιτυχία της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης; σε αυτό το θέμα.

***

1. Εξαιρετική ποιότητα εργασιών στο Ryabushko IDZ 2.1 Επιλογή 10!
2. Χάρη σε αυτό το ψηφιακό προϊόν, ετοιμάστηκα για τις εξετάσεις γρήγορα και εύκολα.
3. Εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να περάσουν με επιτυχία το IDL στα μαθηματικά.
4. Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 10 περιέχει πολλές ενδιαφέρουσες και χρήσιμες εργασίες.
5. Αυτό το ψηφιακό προϊόν με βοήθησε να κατανοήσω το υλικό και να βελτιώσω τις δεξιότητές μου στην επίλυση προβλημάτων.
6. Συνιστώ το Ryabushko IDZ 2.1 Option 10 σε όποιον αναζητά ένα υψηλής ποιότητας και χρήσιμο ψηφιακό προϊόν.
7. Μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να ενισχύσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά.
8. Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 10 είναι ένας απαραίτητος βοηθός στην προετοιμασία για μια εξέταση ή μια δοκιμή.
9. Ευχαριστούμε τους δημιουργούς για ένα τόσο χρήσιμο και εύχρηστο ψηφιακό προϊόν.
10. Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 10 είναι μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να χρησιμοποιήσουν το χρόνο τους αποτελεσματικά και να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά.

Ιδιαιτερότητες:

Τα ψηφιακά αγαθά μπορούν να αποκτηθούν εύκολα και γρήγορα χωρίς να φύγετε από το σπίτι.

Συνήθως κοστίζουν λιγότερο από τα φυσικά αγαθά.

Τα ψηφιακά προϊόντα καταλαμβάνουν λιγότερο χώρο και δεν απαιτούν επιπλέον κόστος αποθήκευσης και αποστολής.

Η δυνατότητα λήψης ή διαδικτυακής πρόσβασης σε ένα ψηφιακό προϊόν σας επιτρέπει να το χρησιμοποιήσετε αμέσως μετά την πληρωμή.

Τα ψηφιακά αγαθά μπορεί να είναι βολικά για μάθηση και αυτο-ανάπτυξη, όπως μαθήματα, ηλεκτρονικά βιβλία ή προγράμματα προπόνησης.

Τα ψηφιακά αγαθά μπορεί να είναι πιο φιλικά προς το περιβάλλον καθώς δεν απαιτούν τη χρήση χαρτιού, πλαστικού και άλλων υλικών για την παραγωγή και τη συσκευασία.

Τα ψηφιακά προϊόντα μπορούν να ενημερωθούν και να βελτιωθούν χωρίς την ανάγκη αγοράς νέων εκδόσεων, γεγονός που μπορεί να εξοικονομήσει χρήματα και χρόνο.