IDZ Ryabushko 2.1 选项 10

1号。设向量 $a = \alpha\cdot m + \beta\cdot n$, $b = \gamma\cdot m + \delta\cdot n$, $|m| = k$, $|n| = \ell$, $(m;n) = \varphi$。你需要找到： a) $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b)$; b) 将向量 $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ 投影到向量 $b$ 上； c) $\cos(a + \tau\cdot b)$。

已知: $\alpha = 5$, $\beta = -3$, $\gamma = 4$, $\delta = 2$, $k = 4$, $\ell = 1$, $\varphi = \frac {2\pi}{3}$、$\lambda = 2$、$\mu = -\frac{1}{2}$、$\nu = 3$、$\tau = 0$。

а) 注意引号 $\lambda\cdot a + \mu\cdot b$: $$ \begin{aligned} \lambda\cdot a + \mu\cdot b &= \lambda\cdot(\alpha \cdot m + \beta\cdot n) + \mu\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\ lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n。 \end{aligned} $$ 语言，语言语言语言 $\nu\cdot a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} \nu\cdot a + \tau\cdot b & = \nu\ cdot (\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma); \cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n。 \end{aligned} $$ 类似地对齐到对齐 $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\ cdot b)$:$$\begin{aligned} & (\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b) \ &= ((\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n)\cdot((\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot| m |^2 + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot|n|^2 \ &\quad + ( ( \lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta) + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot ( \nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma))\cdot(m;n) \ &= (10\cdot3 - \tfrac{1}{2}\cdot4)\cdot16 + (-15\cdot0 + 1\cdot0)\cdot1 + ((10\cdot0 - \tfrac{1}{2}\cdot3)\cdot(-3) + (5\cdot4 + (-3)\cdot2))\cdot\cos\ frac {2\pi}{3}\&= 155 - 23\sqrt{3}。 \end{对齐} $$

б) Проекция вектора $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ на вектор $b$ равна: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_b(\nu\cdot a + \tau\cdot b ) \ &= \frac{(\nu\cdot a + \tau\cdot b)\cdot b}{|b|^2}\cdot b \ &= \frac{(\nu\cdot(\alpha\cdot) m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n))\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n)}{\gamma^2+\ delta^2}\cdot (\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= \frac{(3\cdot 5 + 0)\cdot 4 + (0 - \tfrac{1}{2}\cdot 2)\cdot (-3)}{4^2+2^2}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{58}{20}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{29}{10}\cdot (2\cdot m + n)。 \end{对齐} $$

в) 无限矩阵 $a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} a + \tau\cdot b &= \alpha\cdot m + \beta\cdot n + \tau\cdot(\gamma \ cdot m + \delta\cdot n) \ &= (5 + 0)\cdot m + (-3 + 0)\cdot n + 0\cdot m + 2\cdot n \ &= 5\cdot m - \cdot名词\end{aligned} $$ 让我们对齐 $a$ 和 $a + \tau\cdot b$ begin 的范围： $$ \begin{aligned} \cos(a + \tau\cdot b) &= \fra c { a\cdot(a + \tau\cdot b)}{|a|\cdot|a + \tau\cdot b|} \ &= \frac{(\alpha\cdot m + \beta\cdot n)\ cdot (5\cdot m - n)}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{(5\cdot 3 - \cdot(-3))\cdot4}{\sqrt{5^2+3^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}}\&=\frac{64}{65}。 \end{对齐} $$

2号。使用指定向量的点 $A$、$B$ 和 $C$ 的坐标，您需要找到： a) 向量 $a$ 的模； b) 向量$a$和$b$的标量积； c) 将向量$c$投影到向量$d$上； d) 点$M$在关系$\alpha$中划分线段$\ell$的坐标。

: $A(0; 2; 5)$, $B(2;-3;4)$, $C(3;2;-5)$, $a = \overrightarrow{AB}$, $b = \overrightarrow{BC}$、$c = \overrightarrow{AC}$、$d = (1, 1, 1)$、$\ell = AB$、$\alpha = \frac{1}{3}$。

a) 向量$a$的坐标为$(2-0,-3-2,4-5) = (2,-5,-1)$，所以它的模等于$\sqrt{2^2+5 ^2 +1^2} = \sqrt{30}$。

b) 向量 $a$ 和 $b$ 的标量积等于： $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(1,4,-9) \ &= 2 \cdot 1 + (-5)\cdot 4 + (-1)\cdot(-9) \ &= -33。 \end{对齐} $$

c) 向量 $c$ 到向量 $d$ 的投影等于： $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\ cdot d \ &= \frac{(3\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-5)\cdot 1)}{1^2+1^2+1^2}\cdot (1,1,1) \ & = 0\cdot (1,1,1) \ &= (0,0,0)。 \end{对齐} $$

d) 点$M$的坐标可以通过通过点$A$和$B$的直线的参数方程找到：$$M = A

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5-4) = (2,-5,-1)$，所以它的模等于：$$ |a| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{30}。 $$b) 向量 $a$ 和 $b$ 的标量积等于： $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(3,-5, -9) \ &= 2\cdot3 + (-5)\cdot(-5) + (-1)\cdot(-9) \ &= 35. \end{aligned} $$c) 向量 $c 的投影$ 到向量 $d $ 上等于： $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\cdot d \ &= \分形{(0-3+ 2)\cdot 1 + (2+(-3)-5)\cdot 1 + (5+4+(-5))\cdot 1}{1^2+1^2+ 1^2}\cdot( 1,1,1) \ &= \frac{2}{3}\cdot(1,1,1)。 \end{aligned} $$d) 点 $M$ 的坐标可以使用穿过点 $A$ 和 $B$ 的直线的参数方程找到： $$ \begin{aligned} x(t) &= 0 + 2t，\ y(t) &= 2 + (-3-2)t，\ z(t) &= 5 + (4-5)t。 \end{aligned} $$ 要查找关系 $\alpha = \frac{1}{3}$ 中分割线段 $AB$ 的点 $M$ 的坐标，您可以将 $t = \alpha$ 代入参数方程： $$ \begin{aligned} x(\alpha) &= 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \y(\alpha) &= 2 + ( -3-2)\cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}, \z(\alpha) &= 5 + (4-5)\cdot\frac{1}{3 } = \frac{13}{3}。 \end{aligned} $$ 因此点 $M$ 的坐标等于： $$ M\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{13}{ 3}\右）。 $$

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