IDZ Ryabushko 2.1 Opzione 10

N. 1. Siano i vettori $a = \alpha\cdot m + \beta\cdot n$, $b = \gamma\cdot m + \delta\cdot n$, $|m| = k$, $|n| = \ell$, $(m;n) = \varphi$. Devi trovare: a) $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b)$; b) proiezione del vettore $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ sul vettore $b$; c) $\cos(a + \tau\cdot b)$.

Noto: $\alpha = 5$, $\beta = -3$, $\gamma = 4$, $\delta = 2$, $k = 4$, $\ell = 1$, $\varphi = \frac {2\pi}{3}$, $\lambda = 2$, $\mu = -\frac{1}{2}$, $\nu = 3$, $\tau = 0$.

а) Si noti che le virgolette $\lambda\cdot a + \mu\cdot b$: $$ \begin{aligned} \lambda\cdot a + \mu\cdot b &= \lambda\cdot(\alpha \cdot m + \beta\cdot n) + \mu\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\ lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Lingua, Lingua Lingua Lingua $\nu\cdot a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} \nu\cdot a + \tau\cdot b & = \nu\ cdot (\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= (\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma); \cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n. \end{aligned} $$ Allo stesso modo allineato ad allineato $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\ cdot b)$:$$\begin{aligned} & (\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b) \ &= ((\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot m + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot n)\cdot((\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot m + (\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot n) \ &= (\lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma)\cdot| m |^2 + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta)\cdot|n|^2 \ &\quad + ( ( \lambda\cdot\alpha + \mu\cdot\gamma)\cdot(\nu\cdot\beta + \tau\cdot\delta) + (\lambda\cdot\beta + \mu\cdot\delta)\cdot ( \nu\cdot\alpha + \tau\cdot\gamma))\cdot(m;n) \ &= (10\cdot3 - \tfrac{1}{2}\cdot4)\cdot16 + (-15\cdot0 + 1\cdot0)\cdot1 + ((10\cdot0 - \tfrac{1}{2}\cdot3)\cdot(-3) + (5\cdot4 + (-3)\cdot2))\cdot\cos\ frac {2\pi}{3}\&= 155 - 23\sqrt{3}. \end{allineato} $$

б) Controllo del vettore $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ sul vettore $b$ colore: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_b(\nu\cdot a + \tau\cdot b ) \ &= \frac{(\nu\cdot a + \tau\cdot b)\cdot b}{|b|^2}\cdot b \ &= \frac{(\nu\cdot(\alpha\cdot m + \beta\cdot n) + \tau\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n))\cdot(\gamma\cdot m + \delta\cdot n)}{\gamma^2+\ delta^2}\cdot (\gamma\cdot m + \delta\cdot n) \ &= \frac{(3\cdot 5 + 0)\cdot 4 + (0 - \tfrac{1}{2}\cdot 2)\cdot (-3)}{4^2+2^2}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{58}{20}\cdot (4\cdot m + 2\cdot n) \ &= \frac{29}{10}\cdot (2\cdot m + n). \end{allineato} $$

â) Matrice infinita $a + \tau\cdot b$: $$ \begin{aligned} a + \tau\cdot b &= \alpha\cdot m + \beta\cdot n + \tau\cdot(\gamma \ cdot m + \delta\cdot n) \ &= (5 + 0)\cdot m + (-3 + 0)\cdot n + 0\cdot m + 2\cdot n \ &= 5\cdot m - \cdot N. \end{aligned} $$ Allineiamo l'intervallo di $a$ e $a + \tau\cdot b$ Begin: $$ \begin{aligned} \cos(a + \tau\cdot b) &= \fra c { a\cdot(a + \tau\cdot b)}{|a|\cdot|a + \tau\cdot b|} \ &= \frac{(\alpha\cdot m + \beta\cdot n)\ cdot (5\cdot m - n)}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{(5\cdot 3 - \cdot(-3))\cdot4}{\sqrt{5^2+3^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \ &= \frac{64}{65}. \end{allineato} $$

N. 2. Utilizzando le coordinate dei punti $A$, $B$ e $C$ dei vettori indicati occorre trovare: a) il modulo del vettore $a$; b) prodotto scalare dei vettori $a$ e $b$; c) proiezione del vettore $c$ sul vettore $d$; d) coordinate del punto $M$ che divide il segmento $\ell$ rispetto alla relazione $\alpha$.

Fatto: $A(0; 2; 5)$, $B(2;-3;4)$, $C(3;2;-5)$, $a = \overrightarrow{AB}$, $b = \overrightarrow{BC}$, $c = \overrightarrow{AC}$, $d = (1, 1, 1)$, $\ell = AB$, $\alpha = \frac{1}{3}$.

a) Il vettore $a$ ha coordinate $(2-0,-3-2,4-5) = (2,-5,-1)$, quindi il suo modulo è uguale a $\sqrt{2^2+5 ^2 +1^2} = \sqrt{30}$.

b) Il prodotto scalare dei vettori $a$ e $b$ è uguale a: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(1,4,-9) \ &= 2 \cdot 1 + (-5)\cdot 4 + (-1)\cdot(-9) \ &= -33. \end{allineato} $$

c) Proiezione del vettore $c$ sul vettore $d$ pari a: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\ cdot d \ &= \frac{(3\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-5)\cdot 1)}{1^2+1^2+1^2}\cdot (1,1,1) \ & = 0\cdot (1,1,1) \ &= (0,0,0). \end{allineato} $$

d) Le coordinate del punto $M$ si trovano utilizzando l'equazione parametrica della retta passante per i punti $A$ e $B$: $$ M = A

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5-4) = (2,-5,-1)$, quindi il suo modulo è pari a: $$ |a| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{30}. $$b) Il prodotto scalare dei vettori $a$ e $b$ è uguale a: $$ \begin{aligned} a\cdot b &= (2,-5,-1)\cdot(3,-5, -9) \ &= 2\cdot3 + (-5)\cdot(-5) + (-1)\cdot(-9) \ &= 35. \end{aligned} $$c) Proiezione del vettore $c $ sul vettore $d $ è uguale a: $$ \begin{aligned} &\operatorname{proj}_d c \ &= \frac{c\cdot d}{|d|^2}\cdot d \ &= \ frac{(0-3+ 2)\cdot 1 + (2+(-3)-5)\cdot 1 + (5+4+(-5))\cdot 1}{1^2+1^2+ 1^2}\cdot( 1,1,1) \ &= \frac{2}{3}\cdot(1,1,1). \end{aligned} $$d) Le coordinate del punto $M$ si trovano utilizzando l'equazione parametrica della retta passante per i punti $A$ e $B$: $$ \begin{aligned} x(t) &= 0 + 2t, \ y(t) &= 2 + (-3-2)t, \ z(t) &= 5 + (4-5)t. \end{aligned} $$ Per trovare le coordinate del punto $M$ che divide il segmento $AB$ nella relazione $\alpha = \frac{1}{3}$, si può sostituire $t = \alpha$ in l'equazione parametrica: $$ \begin{aligned} x(\alpha) &= 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \y(\alpha) &= 2 + ( -3-2)\ cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}, \z(\alpha) &= 5 + (4-5)\cdot\frac{1}{3 } = \frac{13 }{3}. \end{aligned} $$ Quindi le coordinate del punto $M$ sono uguali a: $$ M\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{13}{ 3}\destra). $$

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