Ryabushko A.P. IDZ 3.1 옵션 6

번호 1.6. 4개의 점 A1(0;7;1)이 주어졌습니다. A2(2;–1;5); A3(1;6;3); A4(3;–9;8). 필요한:

a) 평면 A1A2A3에 대한 방정식을 만듭니다.

b) 직선 A1A2의 방정식을 그리십시오.

c) 평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4M의 방정식을 작성합니다.

d) 직선 A1A2와 평행한 직선 A3N에 대한 방정식을 작성합니다.

e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 사인을 계산합니다.

g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 계산합니다.

a) 평면 A1A2A3의 방정식을 컴파일하기 위해 이 평면에 있는 두 벡터의 벡터 곱을 찾습니다.

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}1 \ -1 \ 2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

따라서 평면 A1A2A3의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$14x + 2y + 18z - 56 = $0

b) 직선 A1A2의 방정식을 컴파일하기 위해 직선 방정식의 매개변수 형식을 사용합니다.

$x = 0 + 2t = 2t$

$y = 7 - 8t$

$z = 1 + 4t$

d) 직선 A1A2에 평행한 직선 A3N의 방정식을 구성하기 위해 매개변수 형식을 사용합니다.

$x = 1 + 2t$

$y = 6 - 7t$

$z = 3 + 2t$

e) 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식을 컴파일하기 위해 이 선에 수직인 벡터를 찾습니다.

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

원하는 평면은 벡터 $\overrightarrow{A_1A_2}$에 수직이므로 해당 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

$2x - 8년 + 4z + d = 0$

계수 d를 결정하기 위해 점 A4의 좌표를 방정식으로 대체합니다.

$2\cdot3 - 8\cdot(-9) + 4\cdot8 + d = 0$

$d = -14$

따라서 원하는 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$2x - 8년 + 4z - 14 = $0

c) 평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4M의 방정식을 컴파일하기 위해 이 평면에 있는 벡터를 찾습니다.

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}1 \ -1 \ 2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

원하는 직선은 벡터 $\overrightarrow{n}$에 수직이므로 방향 벡터의 형식은 다음과 같습니다.

$\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}x_A - x_M \ y_A - y_M \ z_A - z_M\end{pmatrix}$

여기서 점 M은 선 A4M 위에 있습니다. 직선 A4M은 평면 A1A2A3에 수직이므로 벡터 $\overrightarrow{AM}$는 벡터 $\overrightarrow{n}$와 평행해야 합니다.

$\overrightarrow{AM} = t \cdot \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

따라서 라인 A4M의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$x = 3 + 14t$

$y = -9 + 2t$

$z = 8 + 18t$

f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인을 계산하려면 직선 A1A4에 평행한 벡터와 평면 A1A2A3에 수직인 벡터의 스칼라 곱을 찾아야 합니다.

$\overrightarrow{A_1A_4} = \begin{pmatrix}3 \ -16 \ 7\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

$|\overright화살표{A_1A_4}| = \sqrt{3^2 + (-16)^2 + 7^2} = \sqrt{314}$

$|\overright화살표{n}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + 18^2} = \sqrt{380}$

벡터 간 각도의 사인은 벡터의 스칼라 곱과 해당 모듈의 곱의 비율로 정의되므로 이 각도의 사인은 다음과 같습니다.

$\sin{\alpha} = \frac{\overrightarrow{A_1A_4} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A_1A_4}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \frac{28}{\sqrt{314} \cdot \sqrt{380}} \약 0.425$

g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 계산하려면 평면 A1A2A3에 수직이고 Oxy 평면에 있는 벡터와 Oxy 평면에 수직인 벡터의 스칼라 곱을 찾아야 합니다. A1A2A3 비행기에 누워 있습니다.

$\overrightarrow{n_1} = \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \ 2 \ 0\end{pmatrix}$

$|\overright화살표{n_1}| = 1$

$|\overright화살표{n_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = 2\sqrt{17}$

벡터 사이의 각도의 코사인은 다음과 같습니다.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 옵션 6은 여러 점으로 구성된 기하학 작업입니다.

번호 1.6. 3차원 공간에 4개의 점이 주어지면 이러한 점을 통과하는 평면과 선에 대한 방정식을 작성하고 이들 중 일부 사이의 각도의 사인과 코사인을 계산해야 합니다.

번호 2.6. 주어진 두 점을 통과하고 선택한 좌표축에 평행한 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

번호 3.6. 주어진 선이 평행하게 되는 매개변수의 값을 찾는 것이 필요합니다.

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