IDZ-3.1 1.3号。 4 つの点 A1(3;5;4) が与えられるとします。 A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(-1;0;2)。次の方程式を作成する必要があります。 a) 平面 A1A2A3。 b) ストレート A1A2。 c) 平面 A1A2A3 に垂直な直線 A4M。 d)直線A1A2に平行な直線A3N。 e)点A4を通り、直線A1A2に垂直な平面。 e) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦。 g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦。
2.3番。点から平面までの距離を求めます。
3.3番。点 M(1;–3;3) を通り、座標軸となす角がそれぞれ 60 度、45 度、120 度となる直線の方程式を書きます。
以下にこれらの問題の解決策を示します。
a) 平面 A1A2A3 は、その 2 つの方向ベクトルを取得することで見つけることができます。
ベクトル A1A2(2;3;-1)
ベクトル A1A3(-2;-3;-6)
この場合、平面の方程式は次の形式になります。
(2x + 3y - z - 1) - 2(2x + 3y - z - 3) - 3(2x + 3y - z + 2) = 0
6x + 9y - 3z - 20 = 0
b) ライン A1A2 は、その方向ベクトルを取得することで見つけることができます。
ベクトル A1A2(2;3;-1)
直線の方程式は次のとおりです。
x = 3 + 2t
y = 5 + 3t
z = 4 - t
c) 直線 A4M は平面 A1A2A3 に対して垂直です。これは、その方向ベクトルがこの平面内にあるベクトルに対して垂直でなければならないことを意味します。このようなベクトルは、ベクトル A1A2 と A1A3 のベクトル積になります。
(2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)
この場合、直線の方程式は次の形式になります。
x = -1 + 15t
y = 0 - 10t
z = 2 - 3t
d) 直線 A3N は直線 A1A2 に平行です。これは、その方向ベクトルがベクトル A1A2 と同一直線上にある必要があることを意味します。
ベクトル A3N(2;3;-1)
直線の方程式は次のとおりです。
x = 1 + 2t
y = 2 + 3t
z = -2 - t
e) 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面は次の方程式を持ちます。
(2;3;-1) * (x + 1) + (-2; -3; -6) * (y - 0) + (5; -2; 1) * (z - 2) = 0
2x + 3y - z - 5 = 0
f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度は、次の式を使用して求めることができます。
sin(角度) = |(n, A1A4)| / (|n|*|A1A4|),
ここで、n は平面の法線ベクトル、A1A4 は直線 A1A4 の方向ベクトルです。
平面 A1A2A3 の法線ベクトルは、ベクトル A1A2 と A1A3 のベクトル積に等しくなります。
n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)
直線 A1A4 の方向ベクトルはベクトル A4A1 と等しくなります。
A4A1(-4;-5;-2)
この場合、直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦は次と等しくなります。
sin(角度) = |(n, A4A1)| / (|n|*|A4A1|) = |-94| / (sqrt(394)*sqrt(45)) ≈ 0.729
g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦を求めるには、これらの平面の法線ベクトルの間の角度を見つけることができます。座標平面 Oxy の法線ベクトルはベクトル (0;0;1) に等しくなります。この場合、これらのベクトル間の角度の余弦は次と等しくなります。
cos(角度) = |(n1, n2)| / (|n1|*|n2|) = |(-3)| / (sqrt(14)*1) ≈ 0.535
2.3番。点 M(1;-3;3) から平面 A1A2A3 までの距離は、次の式を使用して求めることができます。
d = |(n, M - A1)| / |n|、
ここで、n は平面の法線ベクトル、A1 は平面上の任意の点 (A1(3;5;4) など)、M は指定された点です。
平面 A1A2A3 の法線ベクトルは、ベクトル A1A2 と A1A3 のベクトル積に等しくなります。
n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)
この場合、点 M から平面 A1A2A3 までの距離は次のようになります。
d = |(n, M - A1)| / |n| = |(15;-10;-3) * (-2;-8;-1)| / sqrt(394) ≈ 1.893
3.3番。点 M(1;-3;3) を通り、座標軸となす角度がそれぞれ 60 度、45 度、120 度である直線の方程式を求めるには、その方向ベクトルを求める必要があります。
直線が Ox 軸に対して 60 度の角度をなすようにします。その場合、その方向ベクトルはベクトル (1;0;0) に比例します。
v1 = k1(1;0;0)
直線が Oxy 平面に対して 45 度の角度を形成するとします。その場合、その方向ベクトルはベクトル (1;1;0) に比例します。
v2 = k2(1;1;0)
直線が Oxy 平面と 120 度の角度を形成し、Oz 軸を含む平面と 45 度の角度を形成するとします。次に、その方向ベクトル
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問題 No.1.3 では、3 次元空間上に 4 つの点が与えられます。 3点を通る平面、2点を通る直線、1点を通る平面に垂直な直線、1点を通り直線に垂直な平面の方程式を立てる必要があります。
問題 e) では、直線と平面の間の角度の正弦を計算する必要があります。
問題 g) では、座標平面 Oxy と、指定された 3 つの点を通過する平面との間の角度の余弦を計算する必要があります。
問題 No. 2.3 では、指定された点から指定された平面までの距離を見つける必要があります。
問題No.3.3では、ある点を通り、座標軸となす角がそれぞれ60度、45度、120度となる直線の方程式を立てる必要があります。
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