Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Option 3

IDZ-3.1 Nr. 1.3. Gegeben sind vier Punkte A1(3;5;4); A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(–1;0;2). Es müssen Gleichungen erstellt werden: a) Ebene A1A2A3; b) gerade A1A2; c) Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3; d) Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2; e) eine Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 verläuft. Es müssen außerdem berechnet werden: e) der Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3; g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3;

Nr. 2.3. Finden Sie den Abstand vom Punkt zur Ebene.

Nr. 3.3. Schreiben Sie eine Gleichung für eine gerade Linie, die durch den Punkt M(1;–3;3) verläuft und mit den Koordinatenachsen Winkel von 60°, 45° und 120° bildet.

Nachfolgend finden Sie Lösungen für diese Probleme.

a) Die Ebene A1A2A3 lässt sich anhand ihrer beiden Richtungsvektoren ermitteln:

Vektor A1A2(2;3;-1)

Vektor A1A3(-2;-3;-6)

Dann hat die Gleichung der Ebene die Form:

(2x + 3y - z - 1) - 2(2x + 3y - z - 3) - 3(2x + 3y - z + 2) = 0

6x + 9y - 3z - 20 = 0

b) Die Linie A1A2 lässt sich anhand ihres Richtungsvektors ermitteln:

Vektor A1A2(2;3;-1)

Die Gleichung der Geraden lautet:

x = 3 + 2t

y = 5 + 3t

z = 4 - t

c) Die Gerade A4M steht senkrecht zur Ebene A1A2A3, was bedeutet, dass ihr Richtungsvektor senkrecht zu den in dieser Ebene liegenden Vektoren stehen muss. Ein solcher Vektor ist das Vektorprodukt der Vektoren A1A2 und A1A3:

(2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Dann hat die Geradengleichung die Form:

x = -1 + 15t

y = 0 - 10t

z = 2 - 3t

d) Die Linie A3N ist parallel zur Linie A1A2, was bedeutet, dass ihr Richtungsvektor kollinear zum Vektor A1A2 sein muss:

Vektor A3N(2;3;-1)

Die Gleichung der Geraden lautet:

x = 1 + 2t

y = 2 + 3t

z = -2 - t

e) Eine Ebene, die durch den Punkt A4 geht und senkrecht zur Geraden A1A2 verläuft, hat die Gleichung:

(2;3;-1) * (x + 1) + (-2; -3; -6) * (y - 0) + (5; -2; 1) * (z - 2) = 0

2x + 3y - z - 5 = 0

f) Der Winkel zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 lässt sich mit der Formel ermitteln:

sin(Winkel) = |(n, A1A4)| / (|n|*|A1A4|),

Dabei ist n der Normalenvektor der Ebene und A1A4 der Richtungsvektor der Geraden A1A4.

Der Normalenvektor der Ebene A1A2A3 ist gleich dem Vektorprodukt der Vektoren A1A2 und A1A3:

n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Der Richtungsvektor der Geraden A1A4 ist gleich dem Vektor A4A1:

A4A1(-4;-5;-2)

Dann ist der Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 gleich:

sin(Winkel) = |(n, A4A1)| / (|n|*|A4A1|) = |-94| / (sqrt(394)*sqrt(45)) ≈ 0,729

g) Um den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3 zu ermitteln, können Sie den Winkel zwischen den Normalenvektoren dieser Ebenen ermitteln. Der Normalenvektor der Koordinatenebene Oxy ist gleich dem Vektor (0;0;1). Dann ist der Kosinus des Winkels zwischen diesen Vektoren gleich:

cos(Winkel) = |(n1, n2)| / (|n1|*|n2|) = |(-3)| / (sqrt(14)*1) ≈ 0,535

Nr. 2.3. Der Abstand vom Punkt M(1;-3;3) zur Ebene A1A2A3 kann mit der Formel ermittelt werden:

d = |(n, M - A1)| / |n|,

Dabei ist n der Normalenvektor der Ebene, A1 ein beliebiger Punkt auf der Ebene (z. B. A1(3;5;4)) und M ein gegebener Punkt.

Der Normalenvektor der Ebene A1A2A3 ist gleich dem Vektorprodukt der Vektoren A1A2 und A1A3:

n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Dann ist der Abstand vom Punkt M zur Ebene A1A2A3 gleich:

d = |(n, M - A1)| / |n| = |(15;-10;-3) * (-2;-8;-1)| / sqrt(394) ≈ 1,893

Nr. 3.3. Um die Gleichung einer geraden Linie zu finden, die durch den Punkt M(1;-3;3) verläuft und mit den Koordinatenachsen Winkel von 60, 45 bzw. 120 Grad bildet, müssen ihre Richtungsvektoren ermittelt werden.

Lassen Sie die gerade Linie einen Winkel von 60 Grad mit der Ox-Achse bilden. Dann ist sein Richtungsvektor proportional zum Vektor (1;0;0):

v1 = k1(1;0;0)

Lassen Sie die gerade Linie einen Winkel von 45 Grad mit der Oxy-Ebene bilden. Dann ist sein Richtungsvektor proportional zum Vektor (1;1;0):

v2 = k2(1;1;0)

Die Gerade soll mit der Oxy-Ebene einen Winkel von 120 Grad und mit der Ebene, die die Oz-Achse enthält, einen Winkel von 45 Grad bilden. Dann sein Richtungsvektor

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Option 3 ist eine Mathematikaufgabe, die mehrere Aufgaben umfasst.

In Aufgabe Nr. 1.3 werden vier Punkte im dreidimensionalen Raum angegeben. Es ist notwendig, die Gleichungen einer Ebene zu konstruieren, die durch drei Punkte verläuft, einer Linie, die durch zwei Punkte verläuft, einer Linie senkrecht zur Ebene und durch einen Punkt und einer Ebene, die durch einen Punkt verläuft und senkrecht zur Linie verläuft.

In Aufgabe e) müssen Sie den Sinus des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnen.

In Aufgabe g) muss der Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene berechnet werden, die durch drei gegebene Punkte verläuft.

In Aufgabe Nr. 2.3 müssen Sie den Abstand von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Ebene ermitteln.

In Aufgabe Nr. 3.3 muss eine Gleichung für eine Gerade erstellt werden, die durch einen bestimmten Punkt verläuft und mit den Koordinatenachsen Winkel von 60, 45 bzw. 120 Grad bildet.

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