Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opción 3

IDZ-3.1 No. 1.3. Dados cuatro puntos A1(3;5;4); A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(–1;0;2). Se requiere crear ecuaciones: a) plano A1A2A3; b) recta A1A2; c) recta A4M, perpendicular al plano A1A2A3; d) recta A3N paralela a la recta A1A2; e) un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2. También es necesario calcular: e) el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3; g) coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3;

N° 2.3. Encuentra la distancia del punto al plano.

N° 3.3. Escribe una ecuación para una línea recta que pasa por el punto M(1;–3;3) y forma ángulos de 60, 45 y 120 con los ejes coordenados, respectivamente.

A continuación se presentan soluciones a estos problemas.

a) El plano A1A2A3 se puede encontrar tomando sus dos vectores directores:

Vector A1A2(2;3;-1)

Vector A1A3(-2;-3;-6)

Entonces la ecuación del avión tiene la forma:

(2x + 3y - z - 1) - 2(2x + 3y - z - 3) - 3(2x + 3y - z + 2) = 0

6x + 9y - 3z - 20 = 0

b) La línea A1A2 se puede encontrar tomando su vector director:

Vector A1A2(2;3;-1)

La ecuación de la recta es:

x = 3 + 2t

y = 5 + 3t

z = 4-t

c) La recta A4M es perpendicular al plano A1A2A3, lo que significa que su vector director debe ser perpendicular a los vectores que se encuentran en este plano. Dicho vector será el producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A3:

(2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Entonces la ecuación de la recta tiene la forma:

x = -1 + 15t

y = 0 - 10t

z = 2 - 3t

d) La recta A3N es paralela a la recta A1A2, lo que significa que su vector director debe ser colineal al vector A1A2:

Vector A3N(2;3;-1)

La ecuación de la recta es:

x = 1 + 2t

y = 2 + 3t

z = -2 -t

e) Un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2 tiene la ecuación:

(2;3;-1) * (x + 1) + (-2; -3; -6) * (y - 0) + (5; -2; 1) * (z - 2) = 0

2x + 3y - z - 5 = 0

f) El ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3 se puede encontrar mediante la fórmula:

pecado(ángulo) = |(n, A1A4)| / (|norte|*|A1A4|),

donde n es el vector normal del plano, A1A4 es el vector director de la recta A1A4.

El vector normal del plano A1A2A3 es igual al producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A3:

norte = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

El vector director de la recta A1A4 es igual al vector A4A1:

A4A1(-4;-5;-2)

Entonces el seno del ángulo formado por la recta A1A4 y el plano A1A2A3 es igual a:

pecado(ángulo) = |(n, A4A1)| / (|n|*|A4A1|) = |-94| / (sqrt(394)*sqrt(45)) ≈ 0,729

g) Para encontrar el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3, puedes encontrar el ángulo entre los vectores normales de estos planos. El vector normal del plano coordenado Oxy es igual al vector (0;0;1). Entonces el coseno del ángulo entre estos vectores es igual a:

cos(ángulo) = |(n1, n2)| / (|n1|*|n2|) = |(-3)| / (sqrt(14)*1) ≈ 0,535

N° 2.3. La distancia desde el punto M(1;-3;3) al plano A1A2A3 se puede encontrar usando la fórmula:

d = |(n, M - A1)| / |norte|,

donde n es el vector normal del plano, A1 es cualquier punto del plano (por ejemplo, A1(3;5;4)), M es un punto dado.

El vector normal del plano A1A2A3 es igual al producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A3:

norte = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Entonces la distancia del punto M al plano A1A2A3 es igual a:

d = |(n, M - A1)| / |norte| = |(15;-10;-3) * (-2;-8;-1)| / raíz cuadrada (394) ≈ 1,893

N° 3.3. Para encontrar la ecuación de una recta que pasa por el punto M(1;-3;3) y forma ángulos de 60, 45 y 120 grados, respectivamente, con los ejes coordenados, es necesario encontrar sus vectores directores.

Deje que la línea recta forme un ángulo de 60 grados con el eje Ox. Entonces su vector dirección es proporcional al vector (1;0;0):

v1 = k1(1;0;0)

Deje que la línea recta forme un ángulo de 45 grados con el plano Oxy. Entonces su vector dirección es proporcional al vector (1;1;0):

v2 = k2(1;1;0)

Deje que la línea recta forme un ángulo de 120 grados con el plano Oxy y un ángulo de 45 grados con el plano que contiene el eje Oz. Entonces su vector de dirección

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En el problema número 1.3, se dan cuatro puntos en un espacio tridimensional. Es necesario construir las ecuaciones de un plano que pasa por tres puntos, una recta que pasa por dos puntos, una recta perpendicular al plano y que pasa por un punto, y un plano que pasa por un punto y perpendicular a la recta.

En el problema e) necesitas calcular el seno del ángulo entre una línea recta y un plano.

En el problema g) es necesario calcular el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano que pasa por tres puntos dados.

En el problema número 2.3 necesitas encontrar la distancia desde un punto dado a un plano dado.

En el problema No. 3.3, es necesario crear una ecuación para una línea recta que pasa por un punto dado y forma ángulos de 60, 45 y 120 grados, respectivamente, con los ejes de coordenadas.

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