Ryabushko A.P. IDZ 3.1 option 3

IDZ-3.1 n° 1.3. Étant donné quatre points A1(3;5;4); A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(-1;0;2). Il est nécessaire de créer des équations : a) plan A1A2A3 ; b) droit A1A2 ; c) la droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ; d) la droite A3N parallèle à la droite A1A2 ; e) un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2. Il faut également calculer : e) le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ; g) cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 ;

N° 2.3. Trouvez la distance entre le point et l'avion.

N° 3.3. Écrivez une équation pour une droite passant par le point M(1;–3;3) et formant des angles de 60, 45 et 120 avec les axes de coordonnées, respectivement.

Vous trouverez ci-dessous des solutions à ces problèmes.

a) Le plan A1A2A3 peut être trouvé en prenant ses deux vecteurs directeurs :

Vecteur A1A2(2;3;-1)

Vecteur A1A3(-2;-3;-6)

Alors l’équation du plan a la forme :

(2x + 3y - z - 1) - 2(2x + 3y - z - 3) - 3(2x + 3y - z + 2) = 0

6x + 9a - 3z - 20 = 0

b) La ligne A1A2 peut être trouvée en prenant son vecteur directeur :

Vecteur A1A2(2;3;-1)

L'équation de la droite est :

x = 3 + 2t

y = 5 + 3t

z = 4 -t

c) La droite A4M est perpendiculaire au plan A1A2A3, ce qui signifie que son vecteur directeur doit être perpendiculaire aux vecteurs situés dans ce plan. Un tel vecteur sera le produit vectoriel des vecteurs A1A2 et A1A3 :

(2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Alors l’équation de la droite a la forme :

x = -1 + 15t

y = 0 - 10t

z = 2 - 3t

d) La droite A3N est parallèle à la droite A1A2, ce qui signifie que son vecteur directeur doit être colinéaire au vecteur A1A2 :

Vecteur A3N(2;3;-1)

L'équation de la droite est :

x = 1 + 2t

y = 2 + 3t

z = -2 -t

e) Un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 a pour équation :

(2;3;-1) * (x + 1) + (-2; -3; -6) * (y - 0) + (5; -2; 1) * (z - 2) = 0

2x + 3y - z - 5 = 0

f) L'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 peut être trouvé à l'aide de la formule :

péché(angle) = |(n, A1A4)| / (|n|*|A1A4|),

où n est le vecteur normal du plan, A1A4 est le vecteur directeur de la droite A1A4.

Le vecteur normal du plan A1A2A3 est égal au produit vectoriel des vecteurs A1A2 et A1A3 :

n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Le vecteur directeur de la droite A1A4 est égal au vecteur A4A1 :

A4A1(-4;-5;-2)

Alors le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 est égal à :

péché(angle) = |(n, A4A1)| / (|n|*|A4A1|) = |-94| / (carré(394)*carré(45)) ≈ 0,729

g) Pour trouver le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3, vous pouvez trouver l'angle entre les vecteurs normaux de ces plans. Le vecteur normal du plan de coordonnées Oxy est égal au vecteur (0;0;1). Alors le cosinus de l'angle entre ces vecteurs est égal à :

cos(angle) = |(n1, n2)| / (|n1|*|n2|) = |(-3)| / (sqrt(14)*1) ≈ 0,535

N° 2.3. La distance du point M(1;-3;3) au plan A1A2A3 peut être trouvée à l'aide de la formule :

d = |(n, M - A1)| / |n|,

où n est le vecteur normal du plan, A1 est n'importe quel point du plan (par exemple, A1(3;5;4)), M est un point donné.

Le vecteur normal du plan A1A2A3 est égal au produit vectoriel des vecteurs A1A2 et A1A3 :

n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Alors la distance du point M au plan A1A2A3 est égale à :

d = |(n, M - A1)| / |n| = |(15;-10;-3) * (-2;-8;-1)| / carré(394) ≈ 1,893

N° 3.3. Pour trouver l'équation d'une droite passant par le point M(1;-3;3) et formant des angles de 60, 45 et 120 degrés respectivement avec les axes de coordonnées, il faut trouver ses vecteurs directeurs.

Laissez la ligne droite former un angle de 60 degrés avec l’axe Ox. Alors son vecteur directeur est proportionnel au vecteur (1;0;0) :

v1 = k1(1;0;0)

Laissez la ligne droite former un angle de 45 degrés avec le plan Oxy. Alors son vecteur directeur est proportionnel au vecteur (1;1;0) :

v2 = k2(1;1;0)

Laissez la droite former un angle de 120 degrés avec le plan Oxy et un angle de 45 degrés avec le plan contenant l'axe Oz. Alors son vecteur directeur

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 option 3 est une tâche mathématique qui comprend plusieurs tâches.

Dans le problème n°1.3, quatre points sont donnés dans un espace tridimensionnel. Il faut construire les équations d'un plan passant par trois points, d'une droite passant par deux points, d'une droite perpendiculaire au plan et passant par un point, et d'un plan passant par un point et perpendiculaire à la droite.

Dans le problème e), vous devez calculer le sinus de l’angle entre une droite et un plan.

Dans le problème g) il faut calculer le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan passant par trois points donnés.

Dans le problème n°2.3, vous devez trouver la distance d'un point donné à un plan donné.

Dans le problème n°3.3, il est nécessaire de créer une équation pour une droite passant par un point donné et formant des angles de 60, 45 et 120 degrés, respectivement, avec les axes de coordonnées.

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