Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opzione 3

IDZ-3.1 N. 1.3. Dati quattro punti A1(3;5;4); A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(–1;0;2). È necessario creare le equazioni: a) piano A1A2A3; b) dritto A1A2; c) retta A4M, perpendicolare al piano A1A2A3; d) retta A3N parallela alla retta A1A2; e) un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2. Occorre inoltre calcolare: e) il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano A1A2A3; g) coseno dell'angolo compreso tra il piano delle coordinate Oxy e il piano A1A2A3;

N. 2.3. Trova la distanza dal punto al piano.

N. 3.3. Scrivi un'equazione per una retta che passa per il punto M(1;–3;3) e forma angoli di 60, 45 e 120 con gli assi delle coordinate, rispettivamente.

Di seguito sono riportate le soluzioni a questi problemi.

a) Il piano A1A2A3 può essere trovato prendendo i suoi due vettori di direzione:

Vettore A1A2(2;3;-1)

Vettore A1A3(-2;-3;-6)

Allora l'equazione del piano ha la forma:

(2x + 3y - z - 1) - 2(2x + 3y - z - 3) - 3(2x + 3y - z + 2) = 0

6x + 9y - 3z - 20 = 0

b) La linea A1A2 può essere trovata prendendo il suo vettore direzione:

Vettore A1A2(2;3;-1)

L'equazione della retta è:

x = 3 + 2t

y = 5 + 3t

z = 4 - t

c) La retta A4M è perpendicolare al piano A1A2A3, il che significa che il suo vettore di direzione deve essere perpendicolare ai vettori che giacciono in questo piano. Tale vettore sarà il prodotto vettoriale dei vettori A1A2 e A1A3:

(2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Allora l'equazione della retta ha la forma:

x = -1 + 15t

y = 0 - 10 t

z = 2 - 3t

d) La linea A3N è parallela alla retta A1A2, il che significa che il suo vettore di direzione deve essere collineare al vettore A1A2:

Vettore A3N(2;3;-1)

L'equazione della retta è:

x = 1 + 2t

y = 2 + 3t

z = -2 -t

e) Un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2 ha l'equazione:

(2;3;-1) * (x + 1) + (-2; -3; -6) * (y - 0) + (5; -2; 1) * (z - 2) = 0

2x + 3y - z - 5 = 0

f) L'angolo formato dalla retta A1A4 e dal piano A1A2A3 si trova con la formula:

sin(angolo) = |(n, A1A4)| / (|n|*|A1A4|),

dove n è il vettore normale del piano, A1A4 è il vettore direzione della retta A1A4.

Il vettore normale del piano A1A2A3 è uguale al prodotto vettoriale dei vettori A1A2 e A1A3:

n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Il vettore direzione della retta A1A4 è uguale al vettore A4A1:

A4A1(-4;-5;-2)

Allora il seno dell'angolo compreso tra la retta A1A4 e il piano A1A2A3 è uguale a:

sin(angolo) = |(n, A4A1)| / (|n|*|A4A1|) = |-94| / (quadrato(394)*quadrato(45)) ≈ 0,729

g) Per trovare il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano A1A2A3, puoi trovare l'angolo formato dai vettori normali di questi piani. Il vettore normale del piano delle coordinate Oxy è uguale al vettore (0;0;1). Allora il coseno dell'angolo compreso tra questi vettori è uguale a:

cos(angolo) = |(n1, n2)| / (|n1|*|n2|) = |(-3)| / (quadrato(14)*1) ≈ 0,535

N. 2.3. La distanza dal punto M(1;-3;3) al piano A1A2A3 può essere trovata utilizzando la formula:

d = |(n, M - A1)| / |n|,

dove n è il vettore normale del piano, A1 è un punto qualsiasi del piano (ad esempio, A1(3;5;4)), M è un punto dato.

Il vettore normale del piano A1A2A3 è uguale al prodotto vettoriale dei vettori A1A2 e A1A3:

n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

Allora la distanza dal punto M al piano A1A2A3 è uguale a:

d = |(n, M - A1)| / |n| = |(15;-10;-3) * (-2;-8;-1)| /qrt(394) ≈ 1.893

N. 3.3. Per trovare l'equazione di una retta passante per il punto M(1;-3;3) e che forma angoli rispettivamente di 60, 45 e 120 gradi con gli assi coordinati, è necessario trovare i suoi vettori di direzione.

Lascia che la linea retta formi un angolo di 60 gradi con l'asse del Bue. Allora il suo vettore di direzione è proporzionale al vettore (1;0;0):

v1 = k1(1;0;0)

Lascia che la retta formi un angolo di 45 gradi con il piano Oxy. Allora il suo vettore di direzione è proporzionale al vettore (1;1;0):

v2 = k2(1;1;0)

Sia la retta a formare un angolo di 120 gradi con il piano Oxy e un angolo di 45 gradi con il piano contenente l'asse Oz. Quindi il suo vettore di direzione

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opzione 3 è un'attività di matematica che include diverse attività.

Nel problema n. 1.3 vengono forniti quattro punti nello spazio tridimensionale. È necessario costruire le equazioni di un piano passante per tre punti, una retta passante per due punti, una retta perpendicolare al piano e passante per un punto, e un piano passante per un punto e perpendicolare alla retta.

Nel problema e) devi calcolare il seno dell'angolo formato da una retta e un piano.

Nel problema g) occorre calcolare il coseno dell'angolo formato dal piano coordinato Oxy e dal piano passante per tre punti dati.

Nel problema n. 2.3 devi trovare la distanza da un dato punto a un dato piano.

Nel problema n. 3.3 è necessario creare un'equazione per una linea retta che passa per un dato punto e forma angoli rispettivamente di 60, 45 e 120 gradi con gli assi delle coordinate.

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