Ryabushko A.P. IDZ 3.1 옵션 3

IDZ-3.1 No. 1.3. 4개의 점 A1(3;5;4)이 주어졌습니다. A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(–1;0;2). 방정식을 작성해야 합니다. a) 평면 A1A2A3; b) 직선형 A1A2; c) 평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4M; d) 직선 A1A2에 평행한 직선 A3N; e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면. 또한 다음을 계산해야 합니다. e) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인; g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인;

번호 2.3. 점에서 평면까지의 거리를 구합니다.

번호 3.3. 점 M(1;–3;3)을 통과하고 좌표축과 각각 60, 45 및 120의 각도를 이루는 직선에 대한 방정식을 작성하십시오.

다음은 이러한 문제에 대한 해결책입니다.

a) 평면 A1A2A3은 두 방향 벡터를 취하여 찾을 수 있습니다.

벡터 A1A2(2;3;-1)

벡터 A1A3(-2;-3;-6)

그러면 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(2x + 3y - z - 1) - 2(2x + 3y - z - 3) - 3(2x + 3y - z + 2) = 0

6x + 9y - 3z - 20 = 0

b) 선 A1A2는 방향 벡터를 취하여 찾을 수 있습니다.

벡터 A1A2(2;3;-1)

직선의 방정식은 다음과 같습니다.

x = 3 + 2t

y = 5 + 3t

z = 4 - 티

c) 직선 A4M은 평면 A1A2A3에 수직입니다. 이는 방향 벡터가 이 평면에 있는 벡터에 수직이어야 함을 의미합니다. 이러한 벡터는 벡터 A1A2와 A1A3의 벡터 곱이 됩니다.

(2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

그런 다음 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x = -1 + 15t

y = 0 - 10t

z = 2 - 3t

d) 선 A3N은 직선 A1A2와 평행합니다. 이는 방향 벡터가 벡터 A1A2와 동일 선상에 있어야 함을 의미합니다.

벡터 A3N(2;3;-1)

직선의 방정식은 다음과 같습니다.

x = 1 + 2t

y = 2 + 3t

z = -2 - 티

e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면은 다음 방정식을 갖습니다.

(2;3;-1) * (x + 1) + (-2; -3; -6) * (y - 0) + (5; -2; 1) * (z - 2) = 0

2x + 3y - z - 5 = 0

f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이의 각도는 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

sin(각도) = |(n, A1A4)| / (|n|*|A1A4|),

여기서 n은 평면의 법선 벡터이고, A1A4는 직선 A1A4의 방향 벡터입니다.

평면 A1A2A3의 법선 벡터는 벡터 A1A2와 A1A3의 벡터 곱과 같습니다.

n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

직선 A1A4의 방향 벡터는 벡터 A4A1과 같습니다.

A4A1(-4;-5;-2)

그러면 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인은 다음과 같습니다.

sin(각도) = |(n, A4A1)| / (|n|*|A4A1|) = |-94| / (sqrt(394)*sqrt(45)) ≒ 0.729

g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 찾으려면 이들 평면의 법선 벡터 사이의 각도를 찾을 수 있습니다. 좌표 평면 Oxy의 법선 벡터는 벡터(0;0;1)와 같습니다. 그러면 이 벡터 사이의 각도의 코사인은 다음과 같습니다.

cos(각도) = |(n1, n2)| / (|n1|*|n2|) = |(-3)| / (sqrt(14)*1) ≒ 0.535

번호 2.3. 점 M(1;-3;3)에서 평면 A1A2A3까지의 거리는 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

d = |(n, M - A1)| / |n|,

여기서 n은 평면의 법선 벡터이고, A1은 평면의 임의의 점(예: A1(3;5;4))이며, M은 주어진 점입니다.

평면 A1A2A3의 법선 벡터는 벡터 A1A2와 A1A3의 벡터 곱과 같습니다.

n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

그러면 점 M에서 평면 A1A2A3까지의 거리는 다음과 같습니다.

d = |(n, M - A1)| / |n| = |(15;-10;-3) * (-2;-8;-1)| / sqrt(394) ≒ 1.893

번호 3.3. 점 M(1;-3;3)을 통과하고 좌표축과 각각 60도, 45도, 120도의 각도를 이루는 직선의 방정식을 찾으려면 해당 방향 벡터를 찾아야 합니다.

직선이 Ox 축과 60도 각도를 이루도록 합니다. 그런 다음 방향 벡터는 벡터(1;0;0)에 비례합니다.

v1 = k1(1;0;0)

직선이 옥시 평면과 45도 각도를 이루도록 하세요. 그런 다음 방향 벡터는 벡터(1;1;0)에 비례합니다.

v2 = k2(1;1;0)

직선이 Oxy 평면과 120도의 각도를 이루고 Oz 축을 포함하는 평면과 45도의 각도를 이루도록 합니다. 그런 다음 방향 벡터

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 옵션 3은 여러 작업을 포함하는 수학 작업입니다.

1.3번 문제에서는 3차원 공간에 네 개의 점이 주어져 있습니다. 세 점을 지나는 평면, 두 점을 지나는 선, 한 점을 지나는 평면에 수직인 선, 한 점을 지나고 선에 수직인 평면의 방정식을 구성하는 것이 필요합니다.

문제 e)에서는 직선과 평면 사이의 각도의 사인을 계산해야 합니다.

문제 g)에서는 좌표 평면 Oxy와 주어진 세 점을 통과하는 평면 사이의 각도의 코사인을 계산해야 합니다.

2.3번 문제에서는 주어진 점에서 주어진 평면까지의 거리를 구해야 합니다.

문제 3.3에서는 주어진 점을 통과하고 좌표축과 각각 60도, 45도, 120도의 각도를 이루는 직선에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

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