里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 选项 3

IDZ-3.1 第 1.3 号。给定四个点 A1(3;5;4); A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(–1;0;2)。需要创建方程： a) 平面 A1A2A3； b) 直线 A1A2； c) 直线A4M，垂直于平面A1A2A3； d) 与直线A1A2平行的直线A3N； e) 通过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面。还需计算： e) 直线A1A4与平面A1A2A3之间夹角的正弦； g) 坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间夹角的余弦；

第 2.3 号。求该点到平面的距离。

第 3.3 条。写出穿过点 M(1;–3;3) 并与坐标轴分别形成 60、45 和 120 角的直线方程。

以下是这些问题的解决方案。

a) 平面 A1A2A3 可以通过取其两个方向向量来找到：

向量 A1A2(2;3;-1)

矢量 A1A3(-2;-3;-6)

那么平面方程的形式为：

(2x + 3y - z - 1) - 2(2x + 3y - z - 3) - 3(2x + 3y - z + 2) = 0

6x + 9y - 3z - 20 = 0

b) 线A1A2可以通过取其方向向量来找到：

向量 A1A2(2;3;-1)

直线方程为：

x = 3 + 2t

y = 5 + 3t

z = 4 - t

c) 直线 A4M 垂直于平面 A1A2A3，这意味着它的方向向量必须垂直于该平面内的向量。这样的向量将是向量 A1A2 和 A1A3 的向量积：

(2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

那么直线方程的形式为：

x = -1 + 15t

y = 0 - 10t

z = 2 - 3t

d) 线 A3N 与直线 A1A2 平行，这意味着它的方向向量必须与向量 A1A2 共线：

向量 A3N(2;3;-1)

直线方程为：

x = 1 + 2t

y = 2 + 3t

z = -2 - t

e) 过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面有方程：

(2;3;-1) * (x + 1) + (-2; -3; -6) * (y - 0) + (5; -2; 1) * (z - 2) = 0

2x + 3y - z - 5 = 0

f) 直线 A1A4 和平面 A1A2A3 之间的角度可以使用以下公式求出：

sin(角度) = |(n, A1A4)| / (|n|*|A1A4|),

其中n为平面法向量，​​A1A4为直线A1A4的方向向量。

平面 A1A2A3 的法向量等于向量 A1A2 和 A1A3 的向量积：

n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

直线 A1A4 的方向向量等于向量 A4A1：

A4A1(-4;-5;-2)

那么直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的夹角的正弦等于：

sin(角度) = |(n, A4A1)| / (|n|*|A4A1|) = |-94| / (sqrt(394)*sqrt(45)) ≈ 0.729

g) 要求坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间的夹角的余弦，可以求出这些平面的法向量之间的夹角。坐标平面Oxy的法向量等于向量(0;0;1)。那么这些向量之间的角度的余弦等于：

cos(角度) = |(n1, n2)| / (|n1|*|n2|) = |(-3)| / (sqrt(14)*1) ≈ 0.535

第 2.3 号。点 M(1;-3;3) 到平面 A1A2A3 的距离可以使用以下公式求出：

d = |(n, M - A1)| / |n|,

其中 n 是平面的法向量，A1 是平面上的任意点（例如 A1(3;5;4)），M 是给定点。

平面 A1A2A3 的法向量等于向量 A1A2 和 A1A3 的向量积：

n = (2;3;-1) x (-2;-3;-6) = (15;-10;-3)

则 M 点到平面 A1A2A3 的距离等于：

d = |(n, M - A1)| / |n| = |(15;-10;-3) * (-2;-8;-1)| / sqrt(394) ≈ 1.893

第 3.3 条。为了求出通过点M(1;-3;3)并与坐标轴分别形成60度、45度和120度角的直线方程，需要求出其方向向量。

让直线与 Ox 轴形成 60 度角。那么它的方向向量与向量(1;0;0)成正比：

v1 = k1(1;0;0)

让直线与 Oxy 平面形成 45 度角。那么它的方向向量与向量(1;1;0)成正比：

v2 = k2(1;1;0)

让直线与 Oxy 平面形成 120 度角，与包含 Oz 轴的平面形成 45 度角。那么它的方向向量

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里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 选项 3 是一项数学任务，包含多个任务。

在问题 1.3 中，在三维空间中给出了四个点。需要构造经过三点的平面、经过两点的直线、垂直于平面并经过一点的直线、经过一点并垂直于直线的平面的方程。

在问题 e) 中，您需要计算直线和平面之间的角度的正弦。

在问题g)中，需要计算坐标平面Oxy与经过三个给定点的平面之间的角度的余弦。

在问题 2.3 中，您需要求出给定点到给定平面的距离。

在问题 3.3 中，需要创建一个穿过给定点并与坐标轴分别形成 60、45 和 120 度角的直线方程。

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