IDZ 10.2 – オプション 1. ソリューション Ryabushko A.P.

1. 点 M0(2, 1, –1) における接平面と表面 S の法線の方程式を求めてみましょう。

表面 S の勾配を求めます: grad(S) = (2x-4, 2y, 2z+6)。点 M0(2, 1, –1) では、grad(S) = (0, 2, 4) になります。点 M0 における表面 S の接平面は表面の勾配に平行であるため、接平面の方程式は次の形式になります。 0(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0、つまり、y + 2z - 1 = 0。点 M0 における表面 S の法線の方程式は、2(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) の形式になります。 = 0、つまり、x + y + 2z - 8 = 0。

1. 関数 z=ex2-y2 の 2 階偏微分を求め、z''xy = z''yx であることを確認しましょう。

一次偏導関数: z'x=2xe^(x^2-y^2)、z'y=-2ye^(x^2-y^2) を計算します。次に、2 番目の偏導関数を求めます: z''xy=2e^(x^2-y^2)-4x^2e^(x^2-y^2), z''yx=2e^(x^2) -y ^2)-4y^2e^(x^2-y^2)。 z''xy = z''yx であることに注意してください。これは、関数 z=ex2-y2 が混合微分の等しい条件を満たすことを意味します。

1. 関数 u(x,y,z) = 2x^2+3y^2+z^2-4xy-6xz+8yz がラプラス方程式を満たすかどうかを確認してみましょう。

関数 u(x,y,z) からラプラスを計算してみましょう: Δu = u''xx + u''yy + u''zz = 4 + 6 + 2 = 12。 Δu は 0 に等しくないので、次のようになります。関数 u(x ,y,z) はラプラス方程式を満たしていません。

1. 関数 z=y√x – 2y^2 – x + 14y の極値を調べてみましょう。

偏微分を計算します: z'x= y/(2√x) - 1、z'y= √x - 4y + 14。静止点を見つけます: z'x=0 => y/(2√x) = 1 = > y=2√x, z'y=0 => √x - 4y + 14 = 0 => √x - 8√x + 14 = 0 => x = 4, y = 4. 十分であることを確認してください。極値の条件: z ''xx= -y/(4x^(3/2)) 0。z''xx 以降

1. 線 y=x、y=4、x=0 で囲まれた領域 D で関数 z=3x+y-xy の最大値と最小値を見つけてみましょう。

Y を方程式 y=4 の x で表します: y=4。 y=x を関数 z=3x+y-xy に代入します: z=4x-2x^2。導関数を計算します: z'x=4-4x、z''xx=-4。臨界点を見つけます: z'x=0 => x=1、その後 y=1。極値の十分条件を確認します: z''xx=-4

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1. 点 M0(x0, y0, z0) における所定の表面 S の接平面と法線の方程式を見つける必要があります。面 S は式 x2 + y2 + z2 + 6z – 4x + 8 = 0 で与えられ、点 M0 の座標は (2, 1, – 1) になります。

2. 指定された関数の二次偏導関数を見つけて、z''xy = z''yx であることを確認する必要があります。関数 z(x,y) は、方程式 z = ex2-y2 で与えられます。

3. 関数 u が指定された式を満たすかどうかを確認する必要があります。

4. 関数 z(x,y) = y√x – 2y2 – x + 14y の極値を調べる必要があります。

5. 指定された直線 y = x、y = 4、x = 0 によって制限された領域 D で関数 z(x,y) = 3x + y – xy の最大値と最小値を見つける必要があります。

この一連の問題は、数式エディタを使用して Microsoft Word 2003 で設計されています。問題の解決策が詳細な形式で表示されます。

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