IDZ リャブシュコ 3.1 オプション 6

1番。 4 つのポイントが与えられます: A1(0;7;1)、A2(2;-1;5)、A3(1;6;3)、A4(3;-9;8)。方程式を作成する必要があります。

a) 点 A1、A2、および A3 を通過する平面の方程式:

3 点を通過する平面の方程式を求めるには、次の公式を使用できます。

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0、

ここで、x、y、z は平面上の任意の点の座標、x1、y1、z1、x2、y2、z2、x3、y3、z3 は指定された点の座標です。

点の座標を代入して、平面の方程式を取得しましょう。

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

単純化してみましょう:

-16 + 26 - 12 = 0

したがって、平面 A1A2A3 の方程式は次の形式になります。

-8x + 13y - 12z + 6 = 0。

b) 点 A1 と A2 を通る直線の方程式:

指定された 2 点を通過する直線の方程式を求めるには、次の公式を使用できます。

x = x1 + y = y1 + bt z = z1 + ct、

ここで、x1、y1、z1 および x2、y2、z2 は指定された点の座標、a、b、c はガイド係数、t はパラメータです。

誘導係数を見つけてみましょう。

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

座標と方向係数の値を代入して、直線の方程式を取得しましょう。

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) 点 A4 を通り、平面 A1A2A3 に垂直な直線の方程式:

特定の平面に垂直で、特定の点を通過する直線の方程式を求めるには、次の手順を使用する必要があります。

1. 与えられた点を通り、与えられた平面に垂直な平面の方程式を求めます。
2. 見つかった平面と、指定された点を通り、指定された平面に平行な直線との交点を見つけます。
3. 指定された点と見つかった交点を通過する直線の方程式を書きます。

平面 A1A2A3 に垂直で点 A4 を通る平面の方程式を求めます。これを行うには、次の式を使用できます。

-8x + 13y - 12z + d = 0、

ここで、 d は見つける必要がある未知の係数です。点 A4 の座標を代入して、平面の方程式を取得しましょう。

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

方程式を解いて d を求めてみましょう。

d = 169

したがって、点 A4 を通り、平面 A1A2A3 に垂直な平面の方程式は次の形式になります。

-8x + 13y - 12z + 169 = 0。

見つけた平面と直線A1A2の交点を探してみましょう。これを行うには、直線の方程式を平面の方程式に代入し、結果として得られる連立方程式を解きます。

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

方程式を解くと、パラメーター t の値がわかります。

t = -3/4

次に、交点の座標を見つけてみましょう。

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

したがって、交点の座標は (-3/2; 13; -2) になります。点 A4 と (-3/2; 13; -2) を通過する直線の方程式を作成することが残っています。これを行うには、2 点を通る直線の方程式の公式を使用します。

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

ここで、 t はパラメータです。

d) 直線 A1A2 に平行で点 A3 を通る直線の方程式:

指定された線に平行で、指定された点を通過する線の方程式を求めるには、次の公式を使用する必要があります。

x = x1 + y = y1 + bt z = z1 + ct、

ここで、x1、y1、z1 は指定された点の座標、a、b、c はガイド係数で、指定された直線のガイド係数と等しくなければなりません。

指定された直線 A1A2 のガイド係数を見つけてみましょう。

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

したがって、線 A1A2 に平行で点 A3 を通る線の方程式は次の形式になります。

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面の方程式:

指定された線に垂直で、指定された点を通過する平面の方程式を求めるには、次の公式を使用する必要があります。

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0、

ここで、x0、y0、z0 は指定された点の座標、a、b、c は指定された直線の方向ベクトルに垂直でなければならない方向係数です。

指定された直線 A1A2 の方向ベクトルを見つけてみましょう。

u = (2, -8, 4)

したがって、平面のガイド係数は垂直でなければなりません。

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IDZ Ryabushko 3.1 オプション 6 は、指定された点を通過する、または指定された線および面に平行/垂直な線および面の方程式を見つけるいくつかのタスクを含む数学タスクです。

このタスクでは 4 つの点が与えられます: A1(0;7;1)、A2(2;-1;5)、A3(1;6;3)、A4(3;-9;8)。方程式:

a) 点 A1、A2、および A3 を通過する平面の方程式。 b) 点 A1 と A2 を通る直線の方程式。 c) 点 A4 を通り、平面 A1A2A3 に垂直な直線の方程式。 d) 直線 A1A2 に平行で点 A3 を通る直線の方程式。 e) 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面の方程式。

各問題を解決するには、タスク条件に記載されている適切な公式と方法が使用されます。

IDZ Ryabushko 3.1 オプション 6 は、平面と直線の方程式を解くこと、方向係数と垂直面を見つけることを含む数学の一連のタスクです。

このタスクでは、A1(0;7;1)、A2(2;-1;5)、A3(1;6;3)、A4(3;-9;8) の 4 つのポイントが与えられます。次のタスクを解決する必要があります。

a) 点 A1、A2、A3 を通る平面の方程式を求めます。これを行うには、平面上の任意の点の座標を指定された点の座標と結び付ける式を使用できます。

b) 点 A1 と A2 を通る直線の方程式を求めます。これを行うには、直線上の任意の点の座標と指定された点の座標を接続する式を使用する必要があります。

c) 点 A4 を通り、平面 A1A2A3 に垂直な直線の方程式を求めます。これを行うには、まず、特定の平面に垂直で、特定の点を通過する平面の方程式を見つける必要があります。次に、この平面と、指定された点を通り、指定された平面に平行な線との交点を見つける必要があります。最後に、指定された点と見つかった交点を通過する直線の方程式を作成する必要があります。

d) 直線 A1A2 に平行で点 A3 を通る直線の方程式を求めます。これを行うには、線上の任意の点の座標を、指定された点の座標および指定された線のガイド係数と結び付ける式を使用する必要があります。

e) 点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式を求めます。これを行うには、平面上の任意の点の座標を、指定された点の座標とガイド係数 (指定された直線のガイドに垂直でなければなりません) に接続する式を使用する必要があります。

***

IDZ Ryabushko 3.1 オプション 6 は、さまざまな複雑さのいくつかのサブタスクを含むジオメトリ タスクです。

1番。最初のタスクでは、3 次元空間に 4 つの点が与えられ、これらの点を通る平面と直線の方程式を作成し、角度を計算し、垂線と平行線を見つける必要があります。

a) 平面 A1A2A3 の方程式をコンパイルするには、平面 Ax + By + Cz + D = 0 の一般方程式の公式を使用できます。ここで、係数 A、B、および C は、横たわるベクトルのベクトル積を使用して決定されます。この飛行機の中で。したがって、平面 A1A2A3 の方程式は次の形式になります。

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) 直線 A1A2 の方程式をコンパイルするには、次の形式の直線のパラメトリック方程式の公式を使用できます。

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) 直線 A4M の方程式を作成するには、点 A4 と点 M を通過する直線のパラメトリック方程式の式を使用できます。点 M は指定されていないため、任意に選択する必要があります。たとえば、点 M(0,0,0) を取得できます。この場合、直線 A4M のパラメトリック方程式は次の形式になります。

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

平面 A1A2A3 に対する垂線は、この平面の法線ベクトルを使用して見つけることができます。これは、平面の方程式の係数によって決定されます。したがって、平面 A1A2A3 の法線ベクトルは座標 (-5、7、-11) を持ち、平面 A1A2A3 に垂直な直線 A4N は次の方程式を持ちます。

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) 直線 A3N は直線 A1A2 に平行です。これは、その方向ベクトルが直線 A1A2 の方向ベクトルと一致することを意味します。直線 A1A2 の方向ベクトルの座標は (2, -8, 4) であるため、直線 A3N の方程式は次の形式になります。

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) 点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式は、平面と法線ベクトルの一般方程式の式を使用して求めることができます。法線ベクトルは、線 A1A2 に垂直な方向を向くため、方向と一致します。線分 A1A4 のベクトル。直線 A1A4 の方向ベクトルの座標は (3, -16, 7) であるため、平面の法線ベクトルの座標は (3, -16, 7) となり、平面の方程式は次のようになります。

3x - 16y + 7z + 118 = 0

e) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を計算するには、直線 A1A4 の方向ベクトルと平面 A1A2A3 の法線ベクトルの間の角度の余弦を見つけて、計算されたコサインに追加される角度のサイン。直線 A1A4 の方向ベクトルは座標 (3, -16, 7) を持ち、平面 A1A2A3 の法線ベクトルは座標 (-5, 7, -11) を持ちます。それらの内積は -211 で、ベクトルの長さは √290.5 と √195 で、それらの間の角度の余弦は -0.924 に等しくなります。したがって、直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦は、√(1-0.924^2) ≈ 0.383 と等しくなります。

g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦を計算するには、それらの法線ベクトルの間の角度を見つける必要があります。座標平面 Oxy の法線ベクトルは座標 (0, 0, 1) を持ち、平面 A1A2A3 の法線ベクトルは以前に求められ、座標 (-5, 7, -11) を持ちます。それらの内積は -11 で、ベクトルの長さは 1 と √195 で、それらの間の角度の余弦は -0.056 に等しくなります。したがって、座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度は、acos(-0.056) ≈ 90.6 度にほぼ等しくなります。

2番。 2 番目のタスクでは、指定された 2 つの点を通過し、Oy 軸に平行な平面の方程式を作成する必要があります。

平面が Oy 軸に平行になるようにするには、その法線ベクトルが Oy 軸に沿った方向を向く必要があります。つまり、その座標は (0, k, 0) でなければなりません (k は任意の数)。平面の法線ベクトルは、点 A(2, 5, -1) と B(-3, 1, 3) を結ぶベクトルに対して垂直でなければなりません。つまり、それらの内積は 0 でなければなりません。

したがって、平面の方程式は次のようになります。

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

ここで、k は任意の数です。

3番。 3 番目のタスクでは、線が特定の線と平行になるパラメータの値を見つける必要があります。これを行うには、指定された線の方向ベクトルの座標をパラメータで表現し、目的の線の方向ベクトルの対応する座標を見つける必要があります。それなら必要です

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