IDZ リャブシュコ 2.2 オプション 24

No.1 ベクトルが与えられます。次のことが必要です: a) 3 つのベクトルの混合積を計算します。 b) ベクトル積の係数を求めます。 c) 2 つのベクトルのスカラー積を計算します。 d) 2 つのベクトルが同一線上にあるか直交しているかをチェックします。 e) 3 つのベクトルが同一平面上にあるかどうかを確認します。

a(3;-1;2); b(-1;5;-4); c(6;-2;4)。

a) 3 つのベクトル a、b、c の混合積は、次の式を使用して計算できます: (a, b, c) = a * (b x c)、ここで * はスカラーとベクトルの乗算、x はベクトルです製品。

(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = (3, -1, 2) * (-22, 24) 、28) = -178

b) 2 つのベクトル a と b のベクトル積の係数は、次の式を使用して計算できます。 |a x b| = sqrt((a x b) * (a x b))、sqrt は平方根です。

|a×b| = |(-1, 5, -4) x (6, -2, 4)| = sqrt((-18)^2 + (-16)^2 + (-28)^2) = sqrt(1240) ≈ 35.226

c) 2 つのベクトル a と b のスカラー積は、次の式を使用して計算できます: a * b = ax * bx + ay * by + az * bz。

a * b = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) = 3 * (-1) + (-1) * 5 + 2 * (-4) = -17

d) 2 つのベクトルが平行で、同じ方向または逆方向の場合、それらのベクトルは同一線上にあります。 2 つのベクトルの内積が 0 の場合、これらのベクトルは直交します。

ベクトル a と b は、外積が 0 ではないため共線的ではありません。また、内積が 0 ではないため、直交でもありません。

a x b = (-1, 5, -4) x (3, -1, 2) = (18, 10, 14) ≠ 0 a * b = -17 ≠ 0

e) 3 つのベクトルは、それらの混合積が 0 の場合、同一平面上にあります。

(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = -178 ≠ 0、したがって、ベクトル a、b、c は次のようになります。同一平面上ではありません。

No. 2 ピラミッドの頂点は点 A(7;4;2) にあります。 B(-5;3;-9); C(1;–5;3); D(7;–9;1)。

この問題を解決するには、ピラミッドの頂点 D と基点 A、B、C を結ぶベクトルの座標を見つける必要があります。

AD = (7, -9, 1) - (7, 4, 2) = (0, -13, -1) BD = (-5, 3, -9) - (7, 4, 2) = (- 12、-1、-11) CD = (1、-5、3) - (7、4、2) = (-6、-9、1)

これで、三角形ABCの​​面積に等しいピラミッドの底辺の面積を見つけ、その半分を三角形ABDの面積として計算できます。

これを行うには、ヘロンの公式を使用できます。

p = (AB + BC + CA) / 2

S(ABC) = sqrt(p*(p-AB)*(p-BC)*(p-CA))

ここで、AB、BC、CA は三角形 ABC の辺の長さ、p は半周長です。

AB = |BD| ≈ 紀元前 16.492 年 = |CD| ≈ 11.402 CA = |AC| ≈ 11.180

p = (16.492 + 11.402 + 11.180) / 2 ≈ 19.537

S(ABC) = sqrt(19.537 * (19.537 - 16.492) * (19.537 - 11.402) * (19.537 - 11.180)) ≈ 48.354

S(ABD) = S(ABC) / 2 ≈ 24.177

これで、ピラミッドの体積の公式を使用してピラミッドの高さを見つけることができます。

V = (1 / 3) * S(ABD) * h

ここで、V はピラミッドの体積、S(ABD) は底面の面積、h はピラミッドの高さです。

点 D は、頂点と底辺を通るピラミッドの高さにあることが知られているため、ピラミッドの高さは、ベクトル AD を点 D から平面 ABC に下ろした垂線に投影したベクトルの長さに等しくなります。

h = |プロジェクトCD(AD)| = |AD * n| / |n|

ここで、n は ABC 平面に対する単位法線ベクトルであり、長さで正規化されたベクトル AB と AC のベクトル積に等しくなります。

n = (AB x AC) / |AB x AC| ≈ (-3.034、-8.759、-3.635)

AD * n ≈ 129.658 |n| ≈ 10.651

h ≈ 12.165

したがって、ピラミッドの高さは約 12.165 です。

IDZ リャブシュコ 2.2 オプション 24

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