Se dan los vectores número 1. Es necesario: a) calcular el producto mixto de tres vectores; b) encontrar el módulo del producto vectorial; c) calcular el producto escalar de dos vectores; d) comprobar si dos vectores son colineales u ortogonales; e) comprobar si los tres vectores son coplanares.
a(3;-1;2); b(-1;5;-4); c(6;-2;4).
a) El producto mixto de tres vectores a, b y c se puede calcular mediante la fórmula: (a, b, c) = a * (b x c), donde * es la multiplicación de un escalar por un vector, x es el vector producto.
(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = (3, -1, 2) * (-22, 24 , 28) = -178
b) El módulo del producto vectorial de dos vectores a y b se puede calcular mediante la fórmula: |a x b| = raíz cuadrada ((a x b) * (a x b)), donde raíz cuadrada es la raíz cuadrada.
|a x b| = |(-1, 5, -4) x (6, -2, 4)| = raíz cuadrada ((-18) ^ 2 + (-16) ^ 2 + (-28) ^ 2) = raíz cuadrada (1240) ≈ 35,226
c) El producto escalar de dos vectores a y b se puede calcular mediante la fórmula: a * b = ax * bx + ay * by + az * bz.
a * b = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) = 3 * (-1) + (-1) * 5 + 2 * (-4) = -17
d) Dos vectores son colineales si son paralelos y tienen la misma dirección o la dirección opuesta. Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
Los vectores a y b no son colineales porque su producto vectorial no es 0. Tampoco son ortogonales porque su producto escalar no es 0.
a x b = (-1, 5, -4) x (3, -1, 2) = (18, 10, 14) ≠ 0 a * b = -17 ≠ 0
e) Tres vectores son coplanares si su producto mixto es 0.
(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = -178 ≠ 0, por lo tanto, los vectores a, b y c son no coplanar.
No. 2 Los vértices de la pirámide están ubicados en los puntos A(7;4;2); B(–5;3;–9); C(1;–5;3); D(7;–9;1).
Para resolver el problema, es necesario encontrar las coordenadas de los vectores que conectan la cima de la pirámide D con los puntos base A, B y C.
AD = (7, -9, 1) - (7, 4, 2) = (0, -13, -1) BD = (-5, 3, -9) - (7, 4, 2) = (- 12, -1, -11) CD = (1, -5, 3) - (7, 4, 2) = (-6, -9, 1)
Ahora puedes encontrar el área de la base de la pirámide, que es igual al área del triángulo ABC, y calcular la mitad como el área del triángulo ABD.
Para hacer esto, puedes usar la fórmula de Heron:
p = (AB + BC + CA) / 2
S(ABC) = raíz cuadrada(p*(p-AB)*(p-BC)*(p-CA))
donde AB, BC y CA son las longitudes de los lados del triángulo ABC, p es el semiperímetro.
AB = |BD| ≈ 16,492 aC = |CD| ≈ 11.402 CA = |AC| ≈ 11.180
p = (16,492 + 11,402 + 11,180) / 2 ≈ 19,537
S(ABC) = raíz cuadrada(19,537 * (19,537 - 16,492) * (19,537 - 11,402) * (19,537 - 11,180)) ≈ 48,354
S(ABD) = S(ABC) / 2 ≈ 24,177
Ahora puedes encontrar la altura de la pirámide usando la fórmula para el volumen de la pirámide:
V = (1 / 3) * S(ABD) * h
donde V es el volumen de la pirámide, S(ABD) es el área de la base, h es la altura de la pirámide.
Se sabe que el punto D se encuentra a la altura de la pirámide que pasa por su cima y su base, por lo tanto la altura de la pirámide es igual a la longitud del vector que proyecta el vector AD sobre la perpendicular que cae desde el punto D al plano ABC.
h = |proyecto_CD(AD)| = |ANUNCIO * n| / |norte|
donde n es el vector unitario normal al plano ABC, igual al producto vectorial de los vectores AB y AC, normalizado por la longitud.
n = (AB x AC) / |AB x AC| ≈ (-3.034, -8.759, -3.635)
ANUNCIO * n ≈ 129,658 |n| ≈ 10.651
h ≈ 12.165
Por tanto, la altura de la pirámide es aproximadamente 12,165.
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