Les vecteurs n ° 1 sont donnés. Il faut : a) calculer le produit mixte de trois vecteurs ; b) trouver le module du produit vectoriel ; c) calculer le produit scalaire de deux vecteurs ; d) vérifier si deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux ; e) vérifier si les trois vecteurs sont coplanaires.
une(3;-1;2); b(-1;5;-4); c(6;-2;4).
a) Le produit mixte de trois vecteurs a, b et c peut être calculé à l'aide de la formule : (a, b, c) = a * (b x c), où * est la multiplication d'un scalaire par un vecteur, x est le vecteur produit.
(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = (3, -1, 2) * (-22, 24 , 28) = -178
b) Le module du produit vectoriel de deux vecteurs a et b peut être calculé à l'aide de la formule : |a x b| = sqrt((a x b) * (a x b)), où sqrt est la racine carrée.
|une xb| = |(-1, 5, -4) x (6, -2, 4)| = carré((-18)^2 + (-16)^2 + (-28)^2) = carré(1240) ≈ 35,226
c) Le produit scalaire de deux vecteurs a et b peut être calculé à l'aide de la formule : a * b = ax * bx + ay * by + az * bz.
a * b = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) = 3 * (-1) + (-1) * 5 + 2 * (-4) = -17
d) Deux vecteurs sont colinéaires s'ils sont parallèles et ont la même direction ou une direction opposée. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
Les vecteurs a et b ne sont pas colinéaires car leur produit vectoriel n'est pas 0. Ils ne sont pas non plus orthogonaux car leur produit scalaire n'est pas 0.
une x b = (-1, 5, -4) x (3, -1, 2) = (18, 10, 14) ≠ 0 une * b = -17 ≠ 0
e) Trois vecteurs sont coplanaires si leur produit mixte est nul.
(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = -178 ≠ 0, donc les vecteurs a, b et c sont pas coplanaire.
N°2 Les sommets de la pyramide sont situés aux points A(7;4;2) ; B(–5;3;–9); C(1;–5;3); D(7 ; –9 ;1).
Pour résoudre le problème, il faut trouver les coordonnées des vecteurs reliant le sommet de la pyramide D aux points de base A, B et C.
AD = (7, -9, 1) - (7, 4, 2) = (0, -13, -1) BD = (-5, 3, -9) - (7, 4, 2) = (- 12, -1, -11) CD = (1, -5, 3) - (7, 4, 2) = (-6, -9, 1)
Vous pouvez maintenant trouver l'aire de la base de la pyramide, qui est égale à l'aire du triangle ABC, et en calculer la moitié comme l'aire du triangle ABD.
Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule de Heron :
p = (AB + BC + CA) / 2
S(ABC) = carré(p*(p-AB)*(p-BC)*(p-CA))
où AB, BC et CA sont les longueurs des côtés du triangle ABC, p est le demi-périmètre.
AB = |BD| ≈ 16.492 avant JC = |CD| ≈ 11,402 CA = |AC| ≈ 11.180
p = (16,492 + 11,402 + 11,180) / 2 ≈ 19,537
S(ABC) = carré(19,537 * (19,537 - 16,492) * (19,537 - 11,402) * (19,537 - 11,180)) ≈ 48,354
S(ABD) = S(ABC) / 2 ≈ 24,177
Vous pouvez maintenant trouver la hauteur de la pyramide en utilisant la formule du volume de la pyramide :
V = (1 / 3) * S(ABD) * h
où V est le volume de la pyramide, S(ABD) est l'aire de la base, h est la hauteur de la pyramide.
On sait que le point D se trouve à la hauteur de la pyramide passant par son sommet et sa base, donc la hauteur de la pyramide est égale à la longueur du vecteur projetant le vecteur AD sur la perpendiculaire descendue du point D sur le plan ABC.
h = |proj_CD(AD)| = |AD *n| / |n|
où n est le vecteur unitaire normal au plan ABC, égal au produit vectoriel des vecteurs AB et AC, normalisé par la longueur.
n = (AB x AC) / |AB x AC| ≈ (-3,034, -8,759, -3,635)
AD * n ≈ 129,658 |n| ≈ 10,651
h ≈ 12,165
Ainsi, la hauteur de la pyramide est d'environ 12,165.
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