Nr. 1 Es werden Vektoren angegeben. Es ist notwendig: a) das gemischte Produkt dreier Vektoren zu berechnen; b) Finden Sie den Modul des Vektorprodukts; c) das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen; d) prüfen, ob zwei Vektoren kollinear oder orthogonal sind; e) Überprüfen Sie, ob die drei Vektoren koplanar sind.
a(3;-1;2); b(-1;5;-4); c(6;-2;4).
a) Das gemischte Produkt dreier Vektoren a, b und c kann mit der Formel berechnet werden: (a, b, c) = a * (b x c), wobei * die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor ist, x der Vektor Produkt.
(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = (3, -1, 2) * (-22, 24 , 28) = -178
b) Der Modul des Vektorprodukts zweier Vektoren a und b kann mit der Formel berechnet werden: |a x b| = sqrt((a x b) * (a x b)), wobei sqrt die Quadratwurzel ist.
|a x b| = |(-1, 5, -4) x (6, -2, 4)| = sqrt((-18)^2 + (-16)^2 + (-28)^2) = sqrt(1240) ≈ 35,226
c) Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b kann mit der Formel berechnet werden: a * b = ax * bx + ay * by + az * bz.
a * b = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) = 3 * (-1) + (-1) * 5 + 2 * (-4) = -17
d) Zwei Vektoren sind kollinear, wenn sie parallel sind und die gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.
Die Vektoren a und b sind nicht kollinear, weil ihr Kreuzprodukt nicht 0 ist. Sie sind auch nicht orthogonal, weil ihr Skalarprodukt nicht 0 ist.
a x b = (-1, 5, -4) x (3, -1, 2) = (18, 10, 14) ≠ 0 a * b = -17 ≠ 0
e) Drei Vektoren sind koplanar, wenn ihr gemischtes Produkt 0 ist.
(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = -178 ≠ 0, daher sind die Vektoren a, b und c nicht koplanar.
Nr. 2 Die Spitzen der Pyramide liegen an den Punkten A(7;4;2); B(–5;3;–9); C(1;–5;3); D(7;–9;1).
Um das Problem zu lösen, müssen die Koordinaten der Vektoren ermittelt werden, die die Spitze der Pyramide D mit den Basispunkten A, B und C verbinden.
AD = (7, -9, 1) - (7, 4, 2) = (0, -13, -1) BD = (-5, 3, -9) - (7, 4, 2) = (- 12, -1, -11) CD = (1, -5, 3) - (7, 4, 2) = (-6, -9, 1)
Jetzt können Sie die Fläche der Basis der Pyramide ermitteln, die gleich der Fläche des Dreiecks ABC ist, und die Hälfte davon als Fläche des Dreiecks ABD berechnen.
Dazu können Sie die Formel von Heron verwenden:
p = (AB + BC + CA) / 2
S(ABC) = sqrt(p*(p-AB)*(p-BC)*(p-CA))
Dabei sind AB, BC und CA die Längen der Seiten des Dreiecks ABC, p ist der Halbumfang.
AB = |BD| ≈ 16,492 v. Chr. = |CD| ≈ 11,402 CA = |AC| ≈ 11,180
p = (16,492 + 11,402 + 11,180) / 2 ≈ 19,537
S(ABC) = sqrt(19,537 * (19,537 - 16,492) * (19,537 - 11,402) * (19,537 - 11,180)) ≈ 48,354
S(ABD) = S(ABC) / 2 ≈ 24,177
Jetzt können Sie die Höhe der Pyramide mithilfe der Formel für das Volumen der Pyramide ermitteln:
V = (1 / 3) * S(ABD) * h
Dabei ist V das Volumen der Pyramide, S(ABD) die Grundfläche und h die Höhe der Pyramide.
Es ist bekannt, dass Punkt D auf der Höhe der Pyramide liegt, die durch ihre Spitze und Basis verläuft. Daher ist die Höhe der Pyramide gleich der Länge des Vektors, der den Vektor AD auf die Senkrechte projiziert, die von Punkt D auf die Ebene ABC fällt.
h = |proj_CD(AD)| = |AD * n| / |n|
Dabei ist n der Einheitsnormalenvektor zur ABC-Ebene, gleich dem Vektorprodukt der Vektoren AB und AC, normiert durch die Länge.
n = (AB x AC) / |AB x AC| ≈ (-3,034, -8,759, -3,635)
AD * n ≈ 129,658 |n| ≈ 10,651
h ≈ 12,165
Somit beträgt die Höhe der Pyramide ungefähr 12,165.
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