IDZ 里亚布什科 2.2 选项 24

给出了第 1 个向量。需要：a)计算三个向量的混合积； b) 求矢量积的模； c) 计算两个向量的标量积； d) 检查两个向量是否共线或正交； e) 检查三个向量是否共面。

a(3;-1;2); b(-1;5;-4); c(6;-2;4)。

a) 三个向量 a、b、c 的混合乘积可以使用以下公式计算：(a, b, c) = a * (b x c)，其中 * 是标量与向量的乘积，x 是向量产品。

(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = (3, -1, 2) * (-22, 24 , 28) = -178

b) 两个向量 a 和 b 的向量积的模可以使用以下公式计算：|a x b| = sqrt((a x b) * (a x b))，其中 sqrt 是平方根。

|a x b| = |(-1, 5, -4) x (6, -2, 4)| = sqrt((-18)^2 + (-16)^2 + (-28)^2) = sqrt(1240) ≈ 35.226

c) 两个向量 a 和 b 的标量积可以使用以下公式计算：a * b = ax * bx + ay * by + az * bz。

a * b = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) = 3 * (-1) + (-1) * 5 + 2 * (-4) = -17

d) 如果两个向量平行且方向相同或相反，则它们共线。如果两个向量的点积为 0，则它们是正交的。

向量 a 和 b 不共线，因为它们的叉积不为 0。它们也不正交，因为它们的点积不为 0。

a x b = (-1, 5, -4) x (3, -1, 2) = (18, 10, 14) ≠ 0 a * b = -17 ≠ 0

e) 如果三个向量的混合积为 0，则它们共面。

(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = -178 ≠ 0，因此向量 a、b 和 c 为不共面。

No.2 金字塔的顶点位于点A(7;4;2)； B(–5;3;–9); C(1;–5;3); D(7;–9;1)。

为了解决该问题，需要找到连接金字塔 D 的顶部与基点 A、B、C 的向量的坐标。

AD = (7, -9, 1) - (7, 4, 2) = (0, -13, -1) BD = (-5, 3, -9) - (7, 4, 2) = (- 12, -1, -11) CD = (1, -5, 3) - (7, 4, 2) = (-6, -9, 1)

现在你可以求出金字塔底边的面积，它等于三角形ABC的面积，并计算出其一半作为三角形ABD的面积。

为此，您可以使用 Heron 公式：

p = (AB + BC + CA) / 2

S(ABC) = sqrt(p*(p-AB)*(p-BC)*(p-CA))

其中 AB、BC 和 CA 是三角形 ABC 的边长，p 是半周长。

AB=|BD| ≈ 16.492 BC = |CD| ≈ 11.402 CA = |AC|约11.180

p = (16.492 + 11.402 + 11.180) / 2 ≈ 19.537

S(ABC) = sqrt(19.537 * (19.537 - 16.492) * (19.537 - 11.402) * (19.537 - 11.180)) ≈ 48.354

S(ABD) = S(ABC) / 2 ≈ 24.177

现在您可以使用金字塔体积公式找到金字塔的高度：

V = (1 / 3) * S(ABD) * h

其中V是金字塔的体积，S(ABD)是底面积，h是金字塔的高度。

已知D点位于金字塔通过其顶部和底部的高度，因此金字塔的高度等于将矢量AD投影到从D点到平面ABC的垂线上的矢量的长度。

h = |proj_CD(AD)| = |AD * n| / |n|

其中 n 是 ABC 平面的单位法向量，等于向量 AB 和 AC 的向量积，按长度归一化。

n = (AB x AC) / |AB x AC| ≈（-3.034，-8.759，-3.635）

AD * n ≈ 129.658 |n| ≈ 10.651

h ≈ 12.165

因此，金字塔的高度约为 12.165。

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