IDZ Ryabushko 2.2 Opzione 24

Vengono forniti n. 1 vettori. È necessario: a) calcolare il prodotto misto di tre vettori; b) trovare il modulo del prodotto vettoriale; c) calcolare il prodotto scalare di due vettori; d) verificare se due vettori sono collineari o ortogonali; e) verificare se i tre vettori sono complanari.

a(3;-1;2); b(-1;5;-4); c(6;-2;4).

a) Il prodotto misto di tre vettori a, b e c può essere calcolato utilizzando la formula: (a, b, c) = a * (b x c), dove * è la moltiplicazione di uno scalare per un vettore, x è il vettore Prodotto.

(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = (3, -1, 2) * (-22, 24 , 28) = -178

b) Il modulo del prodotto vettoriale di due vettori aeb può essere calcolato utilizzando la formula: |a x b| = sqrt((a x b) * (a x b)), dove sqrt è la radice quadrata.

|axb| = |(-1, 5, -4) x (6, -2, 4)| = quadrato((-18)^2 + (-16)^2 + (-28)^2) = quadrato(1240) ≈ 35,226

c) Il prodotto scalare di due vettori aeb può essere calcolato utilizzando la formula: a * b = ax * bx + ay * by + az * bz.

a * b = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) = 3 * (-1) + (-1) * 5 + 2 * (-4) = -17

d) Due vettori sono collineari se sono paralleli e hanno la stessa direzione o direzioni opposte. Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è 0.

I vettori a e b non sono collineari perché il loro prodotto incrociato non è 0. Inoltre non sono ortogonali perché il loro prodotto scalare non è 0.

a x b = (-1, 5, -4) x (3, -1, 2) = (18, 10, 14) ≠ 0 a * b = -17 ≠ 0

e) Tre vettori sono complanari se il loro prodotto misto è 0.

(a, b, c) = (3, -1, 2) * (-1, 5, -4) x (6, -2, 4) = -178 ≠ 0, quindi i vettori a, b e c sono non complanare.

N. 2 I vertici della piramide si trovano nei punti A(7;4;2); B(–5;3;–9); C(1;–5;3); D(7;–9;1).

Per risolvere il problema è necessario trovare le coordinate dei vettori che collegano il vertice della piramide D con i punti base A, B e C.

AD = (7, -9, 1) - (7, 4, 2) = (0, -13, -1) BD = (-5, 3, -9) - (7, 4, 2) = (- 12, -1, -11) CD = (1, -5, 3) - (7, 4, 2) = (-6, -9, 1)

Ora puoi trovare l'area della base della piramide, che è uguale all'area del triangolo ABC, e calcolarne la metà come area del triangolo ABD.

Per fare ciò, puoi utilizzare la formula di Heron:

p = (AB + BC + CA) / 2

S(ABC) = sqrt(p*(p-AB)*(p-BC)*(p-CA))

dove AB, BC e CA sono le lunghezze dei lati del triangolo ABC, p è il semiperimetro.

AB = |BD| ≈ 16.492 a.C. = |CD| ≈ 11.402 CA = |AC| ≈ 11.180

p = (16,492 + 11,402 + 11,180) / 2 ≈ 19,537

S(ABC) = quadrato(19,537 * (19,537 - 16,492) * (19,537 - 11,402) * (19,537 - 11,180)) ≈ 48,354

S(ABD) = S(ABC) / 2 ≈ 24,177

Ora puoi trovare l'altezza della piramide utilizzando la formula per il volume della piramide:

V = (1/3) * S(ABD) * h

dove V è il volume della piramide, S(ABD) è l'area della base, h è l'altezza della piramide.

È noto che il punto D si trova all'altezza della piramide passante per la sommità e la base, quindi l'altezza della piramide è uguale alla lunghezza del vettore che proietta il vettore AD sulla perpendicolare caduta dal punto D sul piano ABC.

h = |proj_CD(AD)| = |AD * n| / |n|

dove n è il vettore unitario normale al piano ABC, pari al prodotto vettoriale dei vettori AB e AC, normalizzato per la lunghezza.

n = (AB x AC) / |AB x AC| ≈ (-3.034, -8.759, -3.635)

DC * n ≈ 129.658 |n| ≈ 10.651

h ≈ 12.165

Pertanto, l'altezza della piramide è di circa 12.165.

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