Kepe O.E. のコレクションからの問題 6.3.12 の解決策。

この問題を解決するには、点 A に吊り下げられた 2 つの円柱からなる物体の対称軸が水平になるように、2 番目の円柱の高さ H を決定する必要があります。最初の円柱の高さは H1 = 0.5 m、半径 R = 3r です。

解決策: 物体は点 A で吊り下げられているため、物体の質量中心は点 A の真下に位置する必要があります。構造の対称性から、質量中心は円柱間の中央に位置することがわかります。したがって、2 番目の円柱の高さ H2 は、1 番目の円柱の高さ H1 と等しくなければなりません、つまり、H2 = 0.5 m です。

次に、2 番目の円柱の半径 r を見つける必要があります。これを行うには、物体の平衡状態を使用します。つまり、点 A に対する力のモーメントの合計がゼロに等しくなければなりません。吊り下げられた物体は平衡状態にあるため、吊り下げ点に対する物体の重力モーメントは糸の引張力のモーメントと等しくなければなりません。

物体の重力モーメントは、重力と吊り下げ点から物体の質量中心までの距離の積として表すことができます。サスペンション ポイントからボディの質量中心までの距離は、高さ H/2 に等しくなります。ここで、H は 2 番目の円柱の高さです。糸は縦方向に伸びておりモーメントが発生しないため、糸の張力モーメントはゼロになります。

したがって、平衡方程式は次の形式になります。 mg * (H/2) = Fн * R、ここで、m は本体の質量、g は自由落下の加速度、Fн は糸の張力、R は円柱の半径。

方程式から半径 R を表し、既知の値を代入すると、R = (mg * Н) / (2 * Fн * 3) が得られます。ここで、数値係数 3 は、最初の円柱の半径が次のとおりであるという問題の条件から生じます。は 2 番目の円柱の半径の 3 倍です。

したがって、2 番目の円柱の高さ H2 は 0.5 m に等しい必要があり、2 番目の円柱の半径 r は次の式で求められます: r = R / 3 = (mg * H) / (6 * Fn)。答え: 高さ = 1.5 m。

Kepe O.? のコレクションからの問題 6.3.12 の解決策。

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Kepe O.? のコレクションからの問題 6.3.12 の解決策。点 A に吊り下げられた 2 つの円柱からなる物体の対称軸が水平になる、均質な円柱の高さ H を決定することにあります。円柱の 1 つの高さは H1 = 0.5 m、半径 R は 3r です。この問題を解決するには、角運動量保存則を利用する必要があります。

角運動量保存の法則から、吊り下げ点 A に対する物体系の角運動量は一定でなければならないことがわかります。したがって、次の方程式を書くことができます。

I * ω = m * g * h

ここで、I はシステムの慣性モーメント、ω はシステムの回転角速度、m はシステムの質量、g は重力加速度、h はシリンダーの望ましい高さです。

シリンダ システムの慣性モーメントは、個々のシリンダの慣性モーメントの合計として次のように表すことができます。

I = I1 + I2 = (m1 * R^2) / 2 + (m2 * R^2) / 2

ここで、m1 と m2 は円柱の質量、R は円柱の半径です。

システムの質量は、個々のシリンダーの質量で表すこともできます。

m = m1 + m2

システムの回転角速度は、システムが水平位置まで角度 α だけ回転する時間と角加速度で表すことができます。

ω = α / t

円柱は円錐台の形状をしており、底面間の角度は 60 度であるため、角度 α は幾何学的な考慮事項から決定され、60 度に等しくなります。

角加速度は、重力加速度およびサスペンション ポイントからシステムの質量中心までの距離で表すことができます。

α = g * h / L

ここで、L はサスペンション ポイントからシステムの質量中心までの距離です。

すべての式を角運動量保存則の方程式に代入し、h について解くと、次の結果が得られます。

h = (m1 + m2) * g * L * t / [(m1 * R^2) / 2 + (m2 * R^2) / 2]

ここで、L = (2 * H1 + H) / 3 はサスペンション ポイントからシステムの質量中心までの距離、t はシステムが 60 度の角度で回転して水平位置になるまでの時間です。

t = π / 6 * √(I / (m * g * L))

数値を代入して方程式を解くと、H = 1.5 メートルという答えが得られます。

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