IDZ リャブシュコ 4.1 オプション 5

1番。以下は、楕円、双曲線、放物線の正準方程式です。

• ?lipse: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1、(x₀, y₀) は中心の座標、a と b はそれぞれ長半径と短半径です。 a > b。
• 双曲線: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1、(x₀, y₀) は中心の座標、a と b は中心から頂点までの距離、および距離それぞれ中心から漸近線まで。
• 放物線: y = a(x - x₀)² + y₀、(x₀, y₀) は頂点の座標、a は放物線のパラメーターです。

2番。点 A(x₀, y₀) を中心とし、半径 r を持つ円の方程式は、(x - x₀)² + (y - y₀)² = r² の形式になります。点 A を中心として点 A と B を通過する円の方程式を書くには、まず半径を見つける必要があります。これを行うには、点 A と点 B の間の距離を求め、円の中心が線分 AB の中央にあるため、それを半分に分割します。したがって、半径 r = AB / 2 となります。この値を円の方程式に代入すると、(x - x₀)² + (y - y₀)² = (AB / 2)² が得られます。

3番。問題で指定されている条件は、点 M が線分 AB の垂直二等分線上にあることを意味します。この二等分線の方程式を作成するには、その座標を見つける必要があります。これは、点と線の間の距離の公式を使用して実行できます。点Mから直線ABまでの距離は、座標形式の点から直線までの距離の公式を使用して求めることができます。次に、点 M から点 A および B までの距離に対応する 2 つの方程式があり、それらの合計を書いて 28 に等しく設定できます。これにより、二等分線の方程式が得られ、これが直線の方程式になります。を探しています。

4番。極座標で曲線をプロットするには、角度と半径の値を使用して曲線をプロットする必要があります。方程式 ρ = 2 / (1 + cosφ) は、x 軸に関して対称で原点を通過する曲線を表します。グラフを作成するには、角度 φ と半径 ρ の異なる値を使用していくつかの点をプロットし、それらを線で接続します。グラフ作成プログラムを使用することもできます。

5番。パラメトリック方程式 x = f(t) および y = g(t) によって定義される曲線は、パラメーター t に依存する点 (x, y) によって記述されます。曲線を作成するには、0 ～ 2π の範囲の t パラメータの値を使用してグラフをプロットする必要があります。これを行うには、異なる t 値を使用していくつかの点をプロットし、それらを線で接続します。たとえば、パラメトリック方程式 x = cos(t) および y = sin(t) がある場合、原点を中心とする半径 1 の円をグラフ化できます。これを行うには、t の複数の値 (たとえば、t = 0、π/4、π/2、3π/4、π など) を選択し、対応する x と y の値を計算してプロットします。これらの座標を持つ点を座標平面上に配置します。これらの点を線で結んで円グラフを作成できます。

IDZ リャブシュコ 4.1 オプション 5

a) 楕円の正準方程式は次の形式になります。 (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1、 ここで、(x₀, y₀) は中心の座標、a と b はそれぞれ長半径と短軸です (a > b)。

特定の楕円については、2a = 22、つまり a = 11 であることがわかっています。離心率 ε = √57/11 もわかっています。半短軸 b は、式 b = a * √(1 - ε²)、つまり b = 2√2 で求められます。

焦点の座標は、公式 c = a * ε を使用して見つけることができます。これは c = √57 を意味します。焦点座標は (x₀ + c, y₀) と (x₀ - c, y₀) になります。x₀ と y₀ は楕円の中心の座標です。

b) 双曲線の正準方程式は次の形式になります。 (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1、 ここで、(x₀, y₀) は中心の座標、a と b はそれぞれ中心から頂点までの距離、中心から漸近線までの距離です。

特定の双曲線については、2c - 焦点距離 = 10√13、つまり c = 5√13 であることが知られています。双曲線漸近線の方程式は y = ± kx (k = 2/3) の形式をとることも知られています。

中心から頂点までの距離 a は、a² = c² + b² の式で求められます。これは、a = √(c² + b²) = √(194/3) を意味します。

c) 放物線の正準方程式は次の形式になります: y = a(x - x₀)² + y₀、ここで (x₀, y₀) は頂点の座標、a は放物線のパラメーターです。

特定の放物線について、対称軸 Ox と頂点の座標 A(27;9) がわかっているため、方程式は y = a(x - 27)² + 9 のようになります。

点 A(x₀, y₀) を中心とし、半径 r を持つ円の方程式は次の形式になります。 (x - x₀)² + (y - y₀)² = r²。

楕円 9x² + 25y² = 1 の焦点の座標は (0, ±2/5) です。円の中心は、A(0,6) と (0,-2/5) の間のセグメントの中央、つまり点 (0, 59/50) を通過します。円の半径は、A と (0.59/50) の間の距離の半分に等しくなります。つまり、r = √(6.25 + (59/50)² - 6) / 2 となります。

したがって、円の方程式は次のようになります: (x-0)² + (y-59/50)² = ((√(6.25 + (59/50)² - 6)) / 2)²。

この条件は、点 M が線分 AB の垂直二等分線上にあることを意味します。点 M から線 AB までの距離は、座標系の点から線までの距離の公式を使用して求めることができます。

d = |(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂| / √((y₂ - y₁)² + (x₁ - x₂)²),

ここで、(x1, y1) と (x2, y2) はそれぞれ点 A と点 B の座標です。

点 A(4, 2) と B(-2, 6) の座標がわかれば、直線 AB の方程式 y = -x/2 + 5 を見つけることができます。

点 M は線分 AB の垂直二等分上にあるため、角度 AMB は 90 度に等しくなります。これは、点 M が線分 AB の垂直二等分上にあることを意味します。これは、点 M の座標が次と等しくなることを意味します。

x = (x₁ + x₂) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

y = (y₁ + y₂) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4

したがって、点 M の座標は (1, 4) になります。

***

IDZ Ryabushko 4.1 オプション 5 は数学の問題のセットで、正準方程式と直線方程式の作成、極座標系およびパラメトリック座標系での曲線の構築に関するタスク、および円の方程式を見つけるタスクが含まれます。

1番。この問題では、さまざまな方法で定義された楕円、双曲線、放物線の正準方程式を構築する必要があります。これを行うには、問題ステートメントで提供されている既知の式とデータを使用する必要があります。

2番。この問題では、指定された中心を持ち、指定された点を通過する円の方程式を書き留める必要があります。これを行うには、円の方程式の標準公式を使用できます。これは、円の中心と半径の座標を、円上の任意の点の座標と結び付けます。

3番。この問題では、与えられた条件を満たす直線の方程式を作成する必要があります。これを行うには、点から線までの距離のよく知られた公式を使用し、代数と幾何学の方法を適用して線の方程式を見つけることができます。

4番。この問題では、極座標系で定義された曲線を作成する必要があります。これを行うには、座標を極座標系からデカルト座標系に変換するためのよく知られた公式を使用し、デカルト座標で指定された関数のグラフを構築できます。

5番。この問題では、パラメトリック方程式で与えられる曲線を作成する必要があります。これを行うには、解析幾何学の手法を使用し、パラメトリック形式で指定された関数のグラフを構築できます。

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