水素の重さ m=40 g、温度 T=300 K

質量 m=40 g の水素があり、温度 T=300 K でした。ガスは断熱膨張し、体積が n1=3 倍に増加しました。次に、ガスを等温圧縮して体積を減らし、n2=2 倍に減らしました。ガスによって実行される総仕事 A とその最終温度 T を決定する必要があります。

答え：

まず、初期ガス圧力を求めます。これを行うには、理想気体の状態方程式を使用します。

pV = nRT、

ここで、p はガスの圧力、V はその体積、n はガス物質の量、R は普遍ガス定数、T はガスの温度です。

気体中の物質の量は、質量をモル質量で割ることで求められます。

n = m/M、

ここで、M はガスのモル質量です。水素の場合、M = 2 g/mol。

この場合、初期ガス圧力は次のようになります。

p1 = (m/M)RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8.31 J/(mol * K) * 300 K / (1 l) = 4.99 * 10^5 Pa 。

次に、断熱膨張中に気体が行う仕事を求めます。プロセスは断熱であるため、Q = 0 となり、熱力学の第一法則は次の形式になります。

dU = -pdV、

ここで、dU はガスの内部エネルギーの変化、p と V はそれぞれガスの圧力と体積です。

このプロセスは断熱的であるため、dU = 履歴書*dT、ここで Cv は一定体積におけるガスの熱容量です。

それから：

Cv*dT = -pdV、

CvdT/T = -pdV/(TV)、

この式を初期温度と体積から最終値まで積分すると、次のようになります。

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R)、

ここで、T2 はガスの最終温度、V2 は断熱膨張後のガスの体積です。

一定体積における気体の熱容量は、次の関係から求められます。

Cp - Cv = R、

ここで、Cp は定圧におけるガスの熱容量です。理想気体の場合、Cp = Cv + R。

それから：

Cv = Cp - R = 7/2 R。

断熱膨張後、ガスの体積は n1 = 3 倍になり、最終的な体積は次のようになります。

V2 = n1 * V1 = 3 * V1。

次に、すべての既知の値を ln(T2/T1) の式に代入して、最終的なガス温度を求めます。

T2 = T1 * (V1/V2)^((7/2)R) = 300 К * (1/3)^((7/2)*8,31/1000) = 219,6 К。

次に、等温圧縮下の気体が行う仕事を求めます。プロセスは等温であるため、T = const となり、熱力学の第一法則は次の形式になります。

dU = -pdV + Q = -pdV、

ここで、Q はガスによって受け取られる熱、またはガスによって放出される熱です。

この式を最終ボリュームから最初のボリュームまで統合すると、次のようになります。

W = -∫p2^1 V dV、

ここで、p2 は圧縮後の最終ガス圧力です。

理想気体の状態方程式と等温過程の条件を使用して、最終的な気体の圧力を求めます。

p2 = p1 * (V1/V2) = p1 * (n1/n2)、

ここで、n2 は圧縮後のガス物質の最終量です。

次に、等温圧縮下の気体の仕事は次のようになります。

W = -∫p2^1 V dV = -∫(p1 * (n1/n2))^p1 (n2/n1 * V1)^2/3 d((n2/n1 * V1)^2/3) = - p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1]、

ここで、等温プロセスにおける理想気体の V と n の関係を使用しました: nV = const。

このとき、ガスが行う仕事の合計は次のようになります。

A = W1 + W2 = -p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1]、

ここで、W1 は断熱膨張中にガスが行う仕事、W2 は等温圧縮中にガスが行う仕事です。

既知の値を代入すると、次のようになります。

A = -4.99 * 10^5 Pa * 1 l * (3/2) * [(2/3)^2/3 - 1] = 5.02 * 10^4 J.

そしてもちろん、両方のプロセスを経た後の最終的なガス温度は T2 = 219.6 K です。

したがって、断熱膨張と等温圧縮後のガスの仕事の合計と最終温度がわかりました。

製品説明：

デジタル グッズ ストアでは、熱力学に関する問題の計算資料であるデジタル製品を紹介します。

この材料は、初期温度 T = 300 K の質量 m = 40 g の水素の断熱膨張と等温圧縮のプロセスを調べます。

計算資料には、問題の条件、使用する公式・法則、計算式の導出、問題で出題される質問への回答が詳しく記載されています。

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タスク： 質量 m = 40 g、温度 T = 300 K の水素は断熱膨張し、その体積は n1 = 3 倍に増加します。次に、等温圧縮中に、ガス体積は n2=2 倍に減少しました。ガスによって実行される総仕事 A とガスの最終温度 T を決定します。問題20046。

解決： まず、初期ガス圧力を求めます。これを行うには、理想気体の状態方程式を使用します。

pV = nRT、

ここで、p はガスの圧力、V はその体積、n はガス物質の量、R は普遍ガス定数、T はガスの温度です。

気体中の物質の量は、質量をモル質量で割ることで求められます。

n = m/M、

ここで、M はガスのモル質量です。水素の場合、M = 2 g/mol。

この場合、初期ガス圧力は次のようになります。

p1 = (m/M)RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8.31 J/(mol * K) * 300 K / (1 l) = 4.99 * 10^5 Pa 。

次に、断熱膨張中に気体が行う仕事を求めます。プロセスは断熱であるため、Q = 0 となり、熱力学の第一法則は次の形式になります。

dU = -pdV、

ここで、dU はガスの内部エネルギーの変化、p と V はそれぞれガスの圧力と体積です。

このプロセスは断熱的であるため、dU = Cv*dT、ここで Cv は一定体積におけるガスの熱容量です。

それから：

Cv*dT = -pdV、

CvdT/T = -pdV/(TV)、

この式を初期温度と体積から最終値まで積分すると、次のようになります。

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R)、

ここで、T2 はガスの最終温度、V2 は断熱膨張後のガスの体積です。

一定体積における気体の熱容量は、次の関係から求められます。

Cp - Cv = R、

ここで、Cp は定圧におけるガスの熱容量です。理想気体の場合、Cp = Cv + R。

それから：

Cv = Cp - R = 7/2 R。

断熱膨張後、ガスの体積は n1 = 3 倍になり、最終的な体積は次のようになります。

V2 = n1 * V1 = 3 * V1。

次に、すべての既知の値を ln(T2/T1) の式に代入して、最終的なガス温度を求めます。

ln(T2/T1) = -ln(3) * (7/2) = -2,303 * (7/2) = -8,058、

T2/T1 = e^(-8,058) = 0,000329、

T2 = T1 * 0.000329 = 300 K * 0.000329 = 0.0987 K。

次に、等温圧縮下の気体が行う仕事を求めてみましょう。プロセスは等温であるため、T = const となり、熱力学の第一法則は次の形式になります。

dU = Q - pdV、

ここで、Q はガスに伝達される熱、dU はガスの内部エネルギーの変化です。

プロセスは等温であるため、T = 一定、したがって Q = W、つまり、ガスによって行われる仕事は、ガスに伝達される熱に等しいということです。

それから：

W = Q = nRT * ln(V1/V2)、

ここで、V1 と V2 はそれぞれガスの初期体積と最終体積です。

断熱膨張後、ガス体積は初期の n1 = 3 倍になり、その後等温圧縮中にガス体積は n2 = 2 倍に減少しました。最終的なガスの体積は次のようになります。

V2 = V1 * (1/n2) = V1/2。

次に、ガスの動作:

W = nRT * ln(V1/(V1/2)) = nRT * ln(2) = (40 g)/(2 g/mol) * 8.31 J/(mol*K) * 300 K * ln( 2) = -4986.54 J.

問題で提起された質問に対する答え:

断熱膨張および等温圧縮中に気体が行う仕事の合計は、W = -4986.54 J です。

断熱膨張と等温圧縮後の最終ガス温​​度は T2 = 0.0987 K です。

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製品説明：

この生成物は、重量 m=40 g、温度 T=300 K の水素のサンプルです。次に、ガスは断熱膨張し、体積が n1=3 倍に増加しました。次に、ガスの等温圧縮が起こり、その結果、体積はn2=2倍減少しました。

ガスが実行する総仕事量 A とガスの最終温度 T を求めるには、マイヤー方程式を使用できます。

A = C_v * (T_2 - T_1) + C_p * (T_2 - T_1)

ここで、C_vとC_pはそれぞれ一定体積と一定圧力における比熱容量、T_1とT_2は初期と最終のガス温度です。

水素の場合、比熱容量は次の式を使用して計算できます。

C_v = (3/2) * R C_p = (5/2) * R

ここで、R はユニバーサル気体定数です。

したがって、総仕事量 A は次のようになります。

A = (3/2) * R * (T_2 - T_1) + (5/2) * R * (T_2 - T_1)

最終的なガス温度 T を決定するには、次の関係を使用できます。

T_2 = T_1 * (n1/n2)^((C_p - C_v)/C_p)

ここで、n1 と n2 は、それぞれ断熱膨張と等温圧縮中のガス体積の変化係数です。

問題ステートメントのデータを置き換えると、次のようになります。

T_2 = 300 * (3/2)^((5/2 - 3/2)/(5/2)) * (1/2) = 150 K

A = (3/2) * R * (150 - 300) + (5/2) * R * (150 - 300) = -600 R Дж

したがって、ガスによって行われる合計仕事量は -600 R J で、ガスの最終温度は 150 K になります。

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