Sul bordo della giostra ci sono 5 persone, ciascuna delle quali ha una massa di 60 kg. La giostra ha la forma di un disco, del peso di 200 kg e del raggio di 2 m, che ruota alla frequenza di 1 giro/s. Per trovare la frequenza di rotazione e la velocità angolare della giostra è necessario spostare tutte le persone al centro ad una distanza pari alla metà del raggio. In questo caso, le persone possono essere rappresentate come masse puntiformi.
Per risolvere il problema è necessario utilizzare la legge di conservazione del momento angolare. Il momento angolare di un sistema chiuso rimane costante se non è influenzato da momenti di forze esterni. Spostare le persone verso il centro cambierà il momento di inerzia del sistema, ma non cambierà il momento della quantità di moto.
Inizialmente, il momento angolare del sistema è uguale al prodotto del momento di inerzia e della velocità angolare:
L = Iω
dove L è il momento angolare, I è il momento d'inerzia, ω è la velocità angolare.
Il momento d'inerzia di una giostra con 5 persone sul bordo è pari alla somma dei momenti d'inerzia di ogni persona e del momento d'inerzia della giostra senza persone:
I1 = 5mr^2/2 + mr^2 = 15mr^2/2
dove m è la massa di una persona, r è il raggio della giostra.
Il momento d'inerzia di una giostra con persone che vengono spostate verso il centro può essere rilevato in modo simile:
I2 = 5m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8
Pertanto il momento angolare del sistema rimane costante:
I1ω1 = I2ω2
dove ω1 e ω2 sono le velocità angolari della giostra prima e dopo lo spostamento delle persone.
Sostituendo i valori dei momenti di inerzia e della velocità angolare otteniamo:
15m^2/2 * 2π = 5m^2/8 * ω2
ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s - la velocità angolare della giostra dopo che le persone si sono spostate al centro.
La frequenza di rotazione della giostra dopo aver spostato le persone è:
f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2,4 Hz.
Il prodotto digitale "On the Edge of the Carousel" è un'attrazione virtuale che ti permetterà di provare l'adrenalina e il divertimento senza uscire di casa! Ti ritroverai sul bordo di una giostra, che assomiglia a un disco con una massa di 200 kg e un raggio di 2 m, che ruota alla frequenza di 1 rps. Luci colorate, musica e urla di gioia lampeggeranno intorno a te. Puoi sentirti un vero eroe, trovandoti sul bordo della giostra insieme agli altri partecipanti all'attrazione.
Questo prodotto digitale è adatto agli appassionati di sport estremi e a coloro che vogliono sperimentare qualcosa di nuovo ed emozionante. È un ottimo regalo per amici e parenti che amano l'adrenalina e le esperienze insolite.
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Il problema è trovare la velocità di rotazione e la velocità angolare di una giostra dopo che cinque persone, ciascuna del peso di 60 kg, si sono spostate verso il suo centro a una distanza pari alla metà del raggio.
Per risolvere il problema è necessario utilizzare la legge di conservazione del momento angolare. Il momento angolare di un sistema chiuso rimane costante se non è influenzato da momenti di forze esterni. Spostare le persone verso il centro cambierà il momento di inerzia del sistema, ma non cambierà il momento della quantità di moto.
Inizialmente, il momento angolare del sistema è uguale al prodotto del momento di inerzia e della velocità angolare: L = Iω
Il momento d'inerzia di una giostra con 5 persone sul bordo è pari alla somma dei momenti d'inerzia di ogni persona e del momento d'inerzia della giostra senza persone:
I1 = 5mr^2/2 + mr^2 = 15mr^2/2
dove m è la massa di una persona, r è il raggio della giostra.
Il momento d'inerzia di una giostra con persone che vengono spostate verso il centro può essere rilevato in modo simile:
I2 = 5m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8
Pertanto il momento angolare del sistema rimane costante:
I1ω1 = I2ω2
dove ω1 e ω2 sono le velocità angolari della giostra prima e dopo lo spostamento delle persone.
Sostituendo i valori dei momenti di inerzia e della velocità angolare otteniamo:
15m^2/2 * 2π = 5m^2/8 * ω2 ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s - la velocità angolare della giostra dopo che le persone si sono spostate al centro.
La frequenza di rotazione della giostra dopo aver spostato le persone è:
f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2,4 Hz.
Pertanto, dopo aver spostato le persone al centro, la velocità di rotazione della giostra quasi raddoppierà e la velocità angolare aumenterà di oltre cinque volte.
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È dato un carosello a forma di disco con una massa di 200 kg e un raggio di 2 m, che ruota alla frequenza di 1 giro/s. A bordo della giostra ci sono cinque persone del peso di 60 kg ciascuna. Per trovare la frequenza di rotazione e la velocità angolare della giostra se tutte le persone si spostano verso il suo centro a una distanza pari alla metà del raggio, è necessario utilizzare le leggi di conservazione della quantità di moto e del momento angolare.
Per prima cosa troviamo il momento di inerzia della giostra rispetto al suo centro, che è pari a:
$I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 = 400$ кг·м²,
dove m è la massa della giostra, R è il suo raggio.
Quindi troveremo il momento di inerzia del sistema a carosello e delle persone rispetto al suo centro dopo che tutte le persone si muovono verso di esso:
$I' = \sum_{i=1}^{5} m_i r_i^2 = m\sinistra(\frac{R}{2}\destra)^2 + m\sinistra(\frac{R}{2} \destra)^2 + mR^2 + m\sinistra(\frac{R}{2}\destra)^2 + m\sinistra(\frac{R}{2}\destra)^2 = 2,5mR^2 $,
dove m_i è la massa della i-esima persona, r_i è la distanza dal centro della giostra alla i-esima persona.
La legge di conservazione del momento angolare afferma che il momento angolare di un sistema rimane invariato in assenza di coppie esterne:
$I\omega = I'\omega',
dove ω è la velocità angolare della giostra prima che le persone si muovano, ω' è la velocità angolare della giostra dopo che le persone si muovono.
Sostituendo i valori trovati dei momenti di inerzia, otteniamo:
$\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 \cdot \omega = 2.5 \cdot 200 \cdot R^2 \cdot \omega'$
Da qui troviamo la velocità angolare della giostra dopo che le persone si sono spostate:
$\omega' = \frac{1}{5}\omega = \frac{1}{5}\cdot 2\pi = \frac{2\pi}{5}$ importo/с.
La velocità di rotazione della giostra è uguale alla velocità angolare divisa per 2π:
$f = \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{1}{5}$ giri/s.
Quindi, la frequenza di rotazione della giostra dopo aver spostato tutte le persone al suo centro è 1/5 r/s e la velocità angolare è 2π/5 rad/s.
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