Soluzione 20.2.2 dalla raccolta (cartella di lavoro) di Kepe O.E. 1989

ATtività Di soluzione 20.2.2

ConsiDeriaMo un'asta Di lunghezza uniforMe l = 3 M e Massa M = 30 kg, rotante su un Piano verticale. È necessario trovare la forza generalizzata corrisPonDente alla coordinata generalizzata Fi, nel momento in cui l'angolo Fi = 45°.

Forza generalizzata corrispondente ad una coordinata generalizzata Fi, è determinato dalla formula:

Q = p_Fi - d/dt(∂L/∂Fi),

Dove p_Fi - impulso generalizzato, L - Lagrangiana, t - tempo.

Per trovare la quantità di moto generalizzata, utilizziamo la formula:

p_Fi = ∂L/∂(dFi/dt).

Per trovare la Lagrangiana scriviamo l’energia cinetica e quella potenziale del sistema:

T = (ml²/3)(dFi/dt)²,

U = 0.

Allora la Lagrangiana avrà la forma:

L = T - U = (ml²/3)(dFi/dt)².

Differenziamo la Lagrangiana rispetto al tempo:

d/dt(∂L/∂(dFi/dt)) - ∂L/∂Fi = 0.

Sostituiamo i valori L E Fi:

(ml²/3)·2(d²Fi/dt²) - 0 = 0.

Da dove lo prendiamo:

(d²Fi/dt²) = 0.

Pertanto, l’impulso generalizzato sarà pari a:

p_Fi = ∂L/∂(dFi/dt) = 2(ml²/3)(dFi/dt).

Troviamo ora la derivata della Lagrangiana rispetto al tempo:

d/dt(∂L/∂(dφ/dt)) = (ml²/3)·2(d³ph/dt³).

Sostituzione dei valori p_φ E d/dt(∂L/∂φ) nella formula per la forza generalizzata:

Q = p_φ - d/dt(∂L/∂φ) = 2(ml²/3)(dφ/dt) - 0 = 2(ml²/3)(dφ/dt).

Troviamo il valore dell'angolo φ al quale questa forza sarà massima, cioè quando la derivata dQ/dφ sarà uguale a zero:

dQ/dφ = 2(ml²/3)·(d²φ/dt²) = 0.

Da ciò consegue ciò d²φ/dt² = 0, cioè l'angolo φ sarà permanente. Pertanto, la forza massima verrà raggiunta in qualsiasi momento in un angolo φ = 45°. Il valore della forza sarà pari a:

Q = 2(ml²/3)(dφ/dt) = 2·(30 kg)·(3 m)²/(3·2)·(Pi/4 rad/s) ≈ 706 N.

Pertanto, quando un'asta omogenea lunga 3 m e pesante 30 kg ruota su un piano verticale, la forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata dell'angolo φ, nel momento in cui l'angolo φ pari a 45°, sarà pari a circa 706 N.

Descrizione del prodotto: Soluzione 20.2.2 dalla raccolta (cartella di lavoro) di Kepe O.E. 1989

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